洛必达法则泰勒公式

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1、-.第三章  微分中值定理与导数的应用第二讲  洛必达法那么 泰勒公式目的 1．使学生掌握用洛必达法那么求各种类型未定式极限的方法；2．理解泰勒中值定理的涵；3．了解等函数的麦克劳林公式；4．学会泰勒中值定理的一些简单应用．重点 1．运用洛必达法那么求各种类型未定式极限的方法；2．使学生理解泰勒中值定理的涵．难点 使学生深刻理解泰勒中值定理的精华． 一、洛必达法那么在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比拟问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法那么去求解．而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常

2、把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和．由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法那么，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理．-.word.zl.-.定理 1  设(1)当时，函数及都趋于零；(2)在点的某去心邻域，及都存在，且 ；(3)存在(或为无穷大)，那么 ．也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达(

3、L’Hospital)法那么．下面我们给出定理1的严格证明：分析  由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理．证  因为求极限与及的取值无关，所以可以假定．于是由条件(1)和(2)知，及在点的某一邻域是连续的．设是这邻域一点，那么在以及为端点的区间上，函数和满足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式 (在与之间)成立．对上式两端求时的极限，注意到时，那么-.word.zl.-.．又因为极限存在(或为无穷大)，所以．故定理1成立．注 假设仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和

4、所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法那么先确定，从而确定和，即．且这种情况可以继续依此类推．例1 求 ．分析  当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法那么．解  .注　最后一个求极限的函数在处是连续的．例2 求．-.word.zl.-.解  .  注 例２中我们连续应用了两次洛必达法那么．例3 求 ．解 .例4 求 .解    .注 (1)在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，那么在应用洛必达法那么时需要计算导数，从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法那么求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地

5、得到简化．课后请同学们自己学习教材136页上的例10．(2)例４中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法那么，否那么要导致错误的结果．以后在应用洛必达法那么时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法那么．对于时的未定式有以下定理．定理2 设-.word.zl.-.(1)当时，函数及都趋于零；(2)当时，与都存在，且；(3) 存在(或为无穷大)，那么   ．同样地,对于(或)时的未定式，也有相应的洛必达法那么．定理3   设(1)当(或)时，函数及都趋于无穷大；(2)在点的某去心邻域(或当时)，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，那么  ．例5  求.解   .例6 求.解  

6、.事实上，例6中的不是正整数而是任何正数其极限仍为零．-.word.zl.-.注 由例5和例6可见，当时，函数都是无穷大，但三个函数增大的“速度〞是不一样的，最快，其次是，最慢的是．除了和型未定式外，还有型的未定式．这些未定式可转化为或型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明．例7 求．分析  因为，，所以是型未定式．又因为， ． 而 是型未定式，是型未定式，所以型未定式可以转化为或型未定式去计算．解 .例8 求．分析  因为，，所以是型未定式．又因为．而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为型未定式来计算．-.word.zl.-.解 ．注 讨论型未定式的极限，一般都是通过提取

7、公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论．例9 求.分析  这是一个幂指函数求极限的问题，由于，所以是一个型未定式．又因为 ，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解  .例10 求 ．分析  由于，，所以是一个型未定式．又因为 ，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解  .由于-.word.zl.-.,所以．例11 求 .分析  由于，，所以是一个型未定式．又因为 ，而是型未定式，所以上述型未定式可以转