2017年辽宁省鞍山市中考数学试卷

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2017年辽宁省鞍山市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）A．﹣2B．0C．1D．﹣42．（3分）如图所示几何体的左视图是（　　）A．B．C．D．3．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x≤﹣2D．x＜﹣24．（3分）一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，则x的值为（　　）A．1B．2C．3D．45．（3分）在平面直角坐标系中，点P（m+1，2﹣m）在第二象限，则m的取值范围为（　　）A．m＜﹣1B．m＜2C．m＞2D．﹣1＜m＜26．（3分）某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为（　　）A．B．C．D．7．（3分）分式方程＝﹣2的解为（　　）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝1D．无解8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF＝DC；③S△DCF＝4S△DEF；④tan∠CAD＝．其中正确结论的个数是（　　）第31页（共31页）

1A．4B．3C．2D．1二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为　　．10．（3分）分解因式2x2y﹣8y的结果是　　．11．（3分）有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为1，﹣，0，π，﹣3，若将这5张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是　　．12．（3分）如图，在▱ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B＝50°，∠DAC＝30°，则∠BAF等于　　．13．（3分）若一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长为　　cm．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为　　．第31页（共31页）

215．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADF＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，则k＝　　．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠A＝2∠BDC，BD交AC边于点E，且AE＝4，则BE•DE＝　　．三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．18．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB＝5，BC＝8，求AF+AG的值．四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）19．（10分）某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每天的课外阅读时间x（单位：min第31页（共31页）

3）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的统计图表，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取　　名学生．（2）统计表中a＝　　，b＝　　．（3）将频数分布直方图补充完整．（4）若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．课外阅读时间x/min频数/人频率0≤x＜1560.115≤x＜30120.230≤x＜45a0.2545≤x＜6018b60≤x＜7590.1520．（10分）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生（3名男生，2名女生）获奖．（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为　　．（2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）21．（10分）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）第31页（共31页）

422．（10分）如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE＝90°，∠ADC＝90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．（1）求证：∠ADF＝∠EAC．（2）若PC＝PA，PF＝1，求AF的长．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）23．（10分）某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．24．（10分）如图，一次函数y＝x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第31页（共31页）

5七、解答题（本大题共1小题，共12分）25．（12分）如图，∠MBN＝90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC＝4，点P为线段BE上的一点（点P不与点B、E重合），连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧．（1）求证：＝；（2）连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；（3）设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．八、解答题（本大题共1小题，共14分）26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S△PBC＝S△ABC，求∠APB的度数；（3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．第31页（共31页）

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72017年辽宁省鞍山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列各数中，比﹣3小的数是（　　）A．﹣2B．0C．1D．﹣4【分析】根据0大于负数，负数比较大小绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：∵﹣4＜﹣3＜﹣2＜0，∴比﹣3小的数是﹣4，故选：D．2．（3分）如图所示几何体的左视图是（　　）A．B．C．D．【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线．【解答】解：图中几何体的左视图如图所示：故选：C．3．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x≤﹣2D．x＜﹣2【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由x+2≥0可得x≥﹣2，故选：A．4．（3分）一组数据2，4，3，x，4的平均数是3，则x的值为（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平均数的定义列出方程，解方程可得答案．第31页（共31页）

8【解答】解：根据题意，得：＝3，解得：x＝2，故选：B．5．（3分）在平面直角坐标系中，点P（m+1，2﹣m）在第二象限，则m的取值范围为（　　）A．m＜﹣1B．m＜2C．m＞2D．﹣1＜m＜2【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正得出关于m的不等式组，解之可得．【解答】解：根据题意，得：，解得m＜﹣1，故选：A．6．（3分）某班有若干个活动小组，其中书法小组人数的3倍比绘画小组的人数多15人，绘画小组人数的2倍比书法小组的人数多5人，问：书法小组和绘画小组各有多少人？若设书法小组有x人，绘画小组有y人，那么可列方程组为（　　）A．B．C．D．【分析】根据题意可得等量关系：书法小组人数×3﹣绘画小组的人数＝15；绘画小组人数×2﹣书法小组的人数＝5，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：若设书法小组有x人，绘画小组有y人，由题意得：，故选：D．7．（3分）分式方程＝﹣2的解为（　　）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝1D．无解【分析】本题需先根据解分式方程的步骤，先乘以最简公分母，再去掉分母，即可求出x的值，再进行检验即可求出答案．【解答】解：两边同时乘以（x﹣2）得：5＝（x﹣1）﹣2（x﹣2），解得：x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，x﹣2≠0，第31页（共31页）

9∴x＝﹣2是原方程的根．故选：B．8．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②DF＝DC；③S△DCF＝4S△DEF；④tan∠CAD＝．其中正确结论的个数是（　　）A．4B．3C．2D．1【分析】①正确．只要证明∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°即可；②根据已知条件得到四边形BMDE是平行四边形，求得BM＝DE＝BC，根据线段垂直平分线的性质得到DM垂直平分CF，于是得到结论，③根据三角形的面积公式即可得到结论；④设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，S△DCF＝4S△DEF∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；②∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，第31页（共31页）

10∴DF＝DC，故②正确；③∵点E是AD边的中点，∴S△DEF＝S△ADF，∵△AEF∽△CBF，∴AF：CF＝AE：BC＝，∴S△CDF＝2S△ADF＝4S△DEF，故③正确；④设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，由△BAE∽△ADC，有＝，即b＝a，∴tan∠CAD＝＝＝．故④正确；故选：A．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）长城的总长大约为6700000m，将数6700000用科学记数法表示为　6.7×106　．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：6700000＝6.7×106，故答案为：6.7×106．10．（3分）分解因式2x2y﹣8y的结果是　2y（x+2）（x﹣2）　．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝2y（x+2）（x﹣2）．故答案为：2y（x+2）（x﹣2）11．（3分）有5张大小、背面都相同的卡片，正面上的数字分别为1，﹣，0，π，﹣第31页（共31页）

113，若将这5张卡片背面朝上洗匀后，从中任意抽取1张，那么这张卡片正面上的数字为无理数的概率是　　．【分析】根据所有等可能的结果数有5种，其中任取一张，这张卡片上的数字为无理数的结果有2种，根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵在1，﹣，0，π，﹣3中，无理数有﹣，π，共2个，∴这张卡片正面上的数字为无理数的概率是；故答案为：．12．（3分）如图，在▱ABCD中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接AF，∠B＝50°，∠DAC＝30°，则∠BAF等于　70°　．【分析】根据∠BAF＝∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF，想办法求出∠BAD、∠CAD、∠CAF即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝130°，∠ACF＝∠CAD＝30°，由作图痕迹可知EF是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠CAF＝∠ACF＝30°，∴∠BAF＝∠BAD﹣∠CAD﹣∠CAF＝70°．故答案为70°．第31页（共31页）

1213．（3分）若一个圆锥的底面圆半径为1cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长为　3　cm．【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．【解答】解：设母线长为l，则＝2π×1解得：l＝3．故答案为：3．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE（其中点B恰好落在AC延长线上点D处，点C落在点E处），连接BD，则四边形AEDB的面积为　　．【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用面积公式解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∵将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在E处，点B恰好落在AC延长线上点D处，∴AD＝AB＝5，∴CD＝AD﹣AC＝1，∴四边形AEDB的面积为，故答案为：．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC和正方形DOFE的顶点B，F在x轴上，顶点C，D在y轴上，且S△ADF＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，则k＝　8　．第31页（共31页）

13【分析】设正方形DOFE的边长分别是n，连接AO，则AO∥DF，得出△ADF的面积＝△DOF的面积（同底等高），∴得到关于n的方程，解方程求得n2的值，最后根据系数k的几何意义求得即可．【解答】解：设正方形DOFE的边长分别是n，则E（n，n），连接AO，∵四边形ABOC和四边形DOFE是正方形，∴∠AOB＝∠DFO＝45°，∴AO∥DF，∴S△ADF＝S△DOF（同底等高），∴n2＝4，∴n2＝8，∴k＝8，故答案为8．16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠A＝2∠BDC，BD交AC边于点E，且AE＝4，则BE•DE＝　20　．【分析】根据题意可以证明△FEB∽△DEC，然后根据相似三角形对应边的比相等，即可求得BE•DE的值，本题得以解决．【解答】解：延长CA到F，使得AF＝AB，连接BF，则∠F＝∠ABF＝∠BAC，第31页（共31页）

14∵∠BAC＝2∠BDC，∴∠F＝∠BDC，∵∠FEB＝∠DEC，∴△FEB∽△DEC，∴，∵AE＝4，AB＝AC＝6，∴EF＝10，CE＝2，∴，∴BE•DE＝20，故答案为：20．三、解答题（共2小题，每小题8分，共16分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再将x的值代入即可解答本题．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，当x＝﹣1时，原式＝．18．（8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交第31页（共31页）

15DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB＝5，BC＝8，求AF+AG的值．【分析】（1）由平行四边形的性质，结合角平分线的定义可证得AE∥CF，结合AF∥CE，可证得结论；（2）由条件可证得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性质可求得DG与AG的关系，结合条件可求得AG的长，从而可求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BCG＝∠CGD＝∠HAD，∴AE∥CF，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：由（1）可知∠BCF＝∠DCF＝∠F，∴BF＝BC＝AD＝8，∵AB＝CD＝5，∴AF＝BF﹣AB＝3，∵BF∥DE，∴∠DCG＝∠F，∠D＝∠FAG，∴△DCG∽△AFG，∴＝＝，第31页（共31页）

16∴DG＝AG，∴AD＝AG+DG＝AG＝8，∴AG＝3，∴AF+AG＝3+3＝6．四、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）19．（10分）某校要了解学生每天的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每天的课外阅读时间x（单位：min）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的统计图表，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取　60　名学生．（2）统计表中a＝　15　，b＝　0.3　．（3）将频数分布直方图补充完整．（4）若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有多少人．课外阅读时间x/min频数/人频率0≤x＜1560.115≤x＜30120.230≤x＜45a0.2545≤x＜6018b60≤x＜7590.15【分析】（1）根据0≤x＜15min时间段的频数和频率求出总数即可；（2）根据题意列出算式a＝60×0.25，b＝18÷60，求出即可；（3）根据频数是15画出即可；（4）根据题意列出算式，再求出即可．【解答】解：（1）6÷0.1＝60，第31页（共31页）

17即本次调查共抽取60名学生，故答案为：60；（2）a＝60×0.25＝15，b＝18÷60＝0.3，故答案为：15，0.3；（3）如图所示：；（4）1200×＝540，答：若全校共有1200名学生，请估计阅读时间不少于45min的有540人．20．（10分）为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有5名学生（3名男生，2名女生）获奖．（1）老师若从获奖的5名学生中选取一名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是男生的概率为　　．（2）老师若从获奖的5名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，请用画树状图法或列表法，求出恰好是一名男生、一名女生的概率．【分析】（1）根据概率公式用男生人数除以总人数即可得；（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）所有等可能结果共有5种，其中男生有3种，∴恰好是男生的概率为，故答案为：；（2）画树状图为：第31页（共31页）

18共有20种等可能的结果数，其中选出1名男生和1名女生的结果数为12种，所以恰好选出1名男生和1名女生的概率＝＝．五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）21．（10分）如图，建筑物C在观测点A的北偏东65°方向上，从观测点A出发向南偏东40°方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东20°方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）【分析】过A作AD⊥BC于D．解Rt△ADB，求出DB＝AB＝65m，AD＝BD＝65m．再解Rt△ADC，得出CD＝AD＝65m，根据BC＝BD+CD即可求解．【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D．根据题意，得∠ABC＝40°+20°＝60°，AB＝130m．在Rt△ADB中，∵∠DAB＝30°，∴DB＝AB＝×130＝65m，AD＝BD＝65m．∵∠BAC＝180°﹣65°﹣40°＝75°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣75°＝45°．在Rt△ADC中，∵tanC＝＝1，∴CD＝AD＝65m，∴BC＝BD+CD＝65+65≈177.5m．故观测点B与建筑物C之间的距离约为177.5m．第31页（共31页）

1922．（10分）如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE＝90°，∠ADC＝90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F．（1）求证：∠ADF＝∠EAC．（2）若PC＝PA，PF＝1，求AF的长．【分析】（1）根据圆周角定理，等角的余角相等可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和三角形相似的知识可以求得AF的长．【解答】（1）证明：∵∠ADC＝90°，∠ACE＝90°，∴∠ADF+∠FDC＝90°，∠EAC+∠CEF＝90°，∵∠FDC＝∠CEF，∴∠ADF＝∠EAC；（2）连接FC，∵CD是圆O的直径，∴∠DFC＝90°，∴∠FDC+∠FCD＝90°，∵∠ADF+∠FDC＝90°，∠ADF＝∠EAC，∴∠FCD＝∠EAC，即∠FCP＝CAP，∵∠FPC＝∠CPA，∴△FPC∽△CPA，∴，第31页（共31页）

20∵PC＝PA，PF＝1，∴，解得，PA＝，∴AF＝PA﹣PF＝，即AF＝．六、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）23．（10分）某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）在这30天内，哪一天的利润是6300元？（3）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．【分析】（1）根据销量＝原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；（2）表示出网络经销商所获得的利润＝6300，解方程即可求出x的值；（3）根据每天售出的件数×每件盈利＝利润即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的．【解答】解：（1）由题意可知y＝5x+30；（2）根据题意可得（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6300，即x2﹣60x+864＝0，解得：x＝24或36（舍）第31页（共31页）

21∴在这30天内，第24天的利润是6300元．（3）根据题意可得：w＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30），＝﹣5x2+300x+1980，＝﹣5（x﹣30）2+6480，∵a＝﹣5＜0，∴函数有最大值，∴当x＝30时，w有最大值为6480元，∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．24．（10分）如图，一次函数y＝x+6的图象交x轴于点A、交y轴于点B，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作直线CD⊥AB，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线CE的解析式；（2）在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足为点M、N，是否存在点P，使线段MN的长最小？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出AB＝10，进而判断出Rt△BCD≌Rt△BCO，和△ACD∽△ABO，确定出点C（﹣3，0），再判断出△EBD≌△ABO，求出OE＝BE﹣OB＝4，即可得出点E坐标，最后用待定系数法即可；（2）方法1，设P（﹣m，﹣m+6），进而得出PN＝m，PM＝﹣m+6，根据勾股定理得，MN2＝（m﹣）2+，即可得出点P横坐标，即可得出结论．方法2、先判断出OP⊥AB时，MN最小，再用面积求出OP，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得点B的横坐标为0，点A的纵坐标为0，∴B（0，6），A（﹣8，0），第31页（共31页）

22∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝＝10，∵CB平分∠ABO，CD⊥AB，CO⊥BO，∴CD＝CO，∵BC＝BC，∴Rt△BCD≌Rt△BCO，∴BD＝BO＝6，∴AD＝AB﹣BD＝4，∵∠ADC＝∠AOB＝90°，∠CAD＝∠BAO，∴△ACD∽△ABO，∴，∴，∴AC＝5，∴OC＝OA﹣AC＝3，∴C（﹣3，0），∵∠EDB＝∠AOB＝90°，BD＝BO，∠EBD＝∠ABO，∴△EBD≌△ABO，∴BE＝AB＝10，∴OE＝BE﹣OB＝4，∴E（0，﹣4），设直线CE的解析式为y＝kx﹣4，∴﹣3k﹣4＝0，∴k＝﹣，∴直线CE的解析式为y＝﹣x﹣4，（2）解：存在，（﹣，），方法1、如图，第31页（共31页）

23∵点P在直线y＝x+6上，∴设P（﹣m，﹣m+6），∴PN＝m，PM＝﹣m+6，根据勾股定理得，MN2＝PN2+PM2＝m2+（﹣m+6）2＝（m﹣）2+，∴当m＝时，MN2有最小值，则MN有最小值，当m＝时，y＝﹣x+6＝﹣×+6＝，∴P（﹣，）．方法2、如图∵PM⊥x轴于M，PN⊥OB于y轴，∴∠PMO＝∠PNO＝90°＝∠MON，∴四边形PMON是矩形，∴MN＝OP∴OP最小时，MN最小，∴OP⊥AB，∵OA＝8，OB＝6，∴AB＝10，∴OP＝＝，易知，△OPM∽△OAP，∴∴，∴OM＝，∴P的横坐标为﹣，∵点P在直线y＝x+6上，第31页（共31页）

24∴P的纵坐标为，∴P（﹣，）．七、解答题（本大题共1小题，共12分）25．（12分）如图，∠MBN＝90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC＝4，点P为线段BE上的一点（点P不与点B、E重合），连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧．（1）求证：＝；（2）连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由；（3）设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．【分析】（1）由△CPD∽△CEB证得结论；（2）AC∥BD．欲推知AC∥BD，只需推知∠ACB+∠DBC＝180°；（3）如图所示，过点P作PF⊥BD．交DB的延长线于点F第31页（共31页）

25．通过解直角三角形、（2）中相似三角形的对应边成比例和三角形的面积公式写出函数关系式即可．【解答】（1）证明：∵∠MBN＝90°，点C是∠MBN平分线上的一点，∴∠CBE＝45°，又CE⊥BN，∴∠BCE＝45°，∴BE＝CE，∴△BCE是等腰直角三角形．又∵△CPD是等腰直角三角形，∴△CPD∽△CEB，∴＝，∴＝；（2）解：AC∥BD，理由如下：∵∠PCE+∠BCP＝∠DCB+∠BCP＝45°，∴∠PCE＝∠DCB．由（1）知，＝，∴△EPC∽△BDC，∴∠PEC＝∠DBC．∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DBC＝180°，∴AC∥BD；（3）解：如图所示，过点P作PF⊥BD．交DB的延长线于点F．∵AC＝4，△ABC与△BEC都是等腰直角三角形，∴BC＝4，BE＝CE＝4．由（2）知，△EPC∽△BDC，∴＝．即＝，第31页（共31页）

26∴DB＝x．∵∠PBF＝∠CBF﹣∠CBP＝90°﹣45°＝45°，即BP＝BE﹣PE＝4﹣x，∴PF＝BP•sin∠PBF＝（4﹣x）×＝2﹣x，∴S＝DB•PF＝×x×（2﹣x）＝﹣x2+2x，即：S＝﹣x2+2x．八、解答题（本大题共1小题，共14分）26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；（2）点P是抛物线上一点（不与点A重合），且S△PBC＝S△ABC，求∠APB的度数；（3）在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先确定出点A，B，C的坐标，进而求出AC，BC，AB，即可判断出△ABC的形状，判断出外接圆的圆心的位置即可；（2）先确定出直线BC的解析式，进而设出点P的坐标，得出点Q的坐标，再分两种情况，用S△PBC＝S△ABC，建立方程求解，最后判断出△ABN∽△APM即可求出∠APB的度数；（3）设出点E的坐标，用点E到对称轴的距离建立方程求出点E的坐标，即可得出结论．第31页（共31页）

27【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x+2与y轴交于点C，∴C（0，2），令y＝0，则0＝﹣x+2，∴x＝﹣1或x＝4，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，根据勾股定理得，AC＝，BC＝2，∵AB＝OA+OB＝5，∴AC2+BC2＝5+20＝25＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴AB是Rt△ABC的外接圆的直径，∴△ABC的外接圆的圆心是线段AB的中点，∴其坐标为（，0）；（2）∵C（0，2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，∵B（4，0），∴4k+2＝0，∴k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∵P是抛物线上一点，设点P（m，﹣m2+m+2）如图，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q，∴Q（m，﹣m+2），①当点P在直线BC上方时，S△PBC＝S△PQC+S△PBQ＝S△ABC，∴[（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）]×m+[（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）]（m﹣第31页（共31页）

284）＝×5×2∴m2﹣4m+5＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，∴此方程没有实数根；∴当点P在直线BC上方时，S△PBC≠S△ABC，②当点P在直线BC下方时，S△PBC＝S△PQC﹣S△PBQ＝S△ABC，∴[（﹣m+2）﹣（﹣m2+m+2）]×m﹣[（m+2）﹣（﹣m2+m+2）]（m﹣4）＝×5×2∴m2﹣4m﹣5＝0，∴m＝﹣1（舍）或m＝5，∴P（5，﹣3）作PM⊥x轴于，交BC于Q，∴PM＝3，MB＝1，根据勾股定理得，BP＝，AP＝3，过点B作BN⊥AP于N，∴∠ANB＝∠AMP＝90°，∠BAN＝∠PAM，∴△ABN∽△APM，∴，∴，∴BN＝，在Rt△BPN中，PN＝＝，∴BN＝PN，∴∠APB＝45°；（3）存在，如图2，∵抛物线y＝﹣x+2的对称轴为x＝，由（2）知，P（5，﹣3），BP＝，设E（n，﹣n2+n+2），第31页（共31页）

29①当点E在抛物线对称轴右侧时，即：点E处时，EF＝BP＝，∴点E到对称轴的距离为EG＝BM＝1，∴n﹣＝1，∴n＝，∴E（，），易知，FG＝PM＝3，∴F（，）；②当点E在抛物线对称轴左侧时，即：E'处时，E'F'＝BP＝，∴点E'到对称轴的距离为E'G'＝BM＝1，∴﹣n＝1，∴n＝，∴E'（，），易知，F'G'＝PM＝3，∴F'（，﹣）．即：满足条件的点F的坐标为（，）或（，﹣）．第31页（共31页）

30声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/916:31:19；用户：初数；邮箱：kh02@xyh.com；学号：22313616第31页（共31页）