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时间:2019-07-06
《数学必修四成才之路2-3-1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.1一、选择题1.若a·c=b·c(c≠0),则( )A.a=bB.a≠bC.
2、a
3、=
4、b
5、D.a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等[答案] D[解析] ∵a·c=b·c,∴
6、a
7、·
8、c
9、cos=
10、b
11、·
12、c
13、cos,即
14、a
15、cos=
16、b
17、cos,故选D.2.若
18、a
19、=4,
20、b
21、=3,a·b=-6,则a与b的夹角等于( )A.150° B.120°C.60°D.30°[答案] B[解析] cosθ===-.∴θ=120°.3.若
22、a
23、=4,
24、b
25、=2,a和b的夹角为30°,则a在b方向上的投影为( )A.2
26、B.C.2D.4[答案] C[解析] a在b方向上的投影为
27、a
28、cos=4×cos30°=2.4.
29、m
30、=2,m·n=8,=60°,则
31、n
32、=( )A.5B.6C.7D.8[答案] D[解析] ∵=cos,∴=,∴
33、n
34、=8.5.向量a的模为10,它与x轴的夹角为150°,则它在x轴上的投影为( )A.-5B.5C.-5D.5[答案] A[解析] a在x轴上的投影为
35、a
36、·cos150°=-5.6.若向量a、b满足
37、a
38、=1,
39、b
40、=2,a与b的夹角为60°,则b·b+a·b等于( )A.3B.4C.5D.6[答案] C[解析] b·b+a·b=
41、b
42、
43、2+
44、a
45、·
46、b
47、cos=4+1=5.7.对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中真命题是( )A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c[答案] B[解析] A中,若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,故A错;C中,若a2=b2,则
48、a
49、=
50、b
51、,C错;D中,若a·b=a·c,则可能有a⊥b,a⊥c,但b≠c,故只有选项B正确.8.已知向量a、b满足
52、a
53、=1,
54、b
55、=4,且a·b=2,则a与b的夹角为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] cos===,又∵56、b>∈[0,π],∴=.二、填空题9.(2009·江苏)已知向量a和向量b的夹角为30°,57、a58、=2,59、b60、=,则向量a和向量b的数量积a·b=____.[答案] 3[解析] a·b=61、a62、63、b64、cos〈a,b〉=2××cos30°=2××=3.10.已知65、a66、=4,67、b68、=6,且a·b=-12,则向量a在向量b方向上的正射影的数量为________.[答案] -2[解析] ∵69、a70、=4,71、b72、=6,a·b=-12,cos===-,∴a在b上的正射影的数量为73、a74、·cos=-2.11.已知△ABC中,75、76、=77、78、=4,且·=8,则这个三角形的形状为_____79、___.[答案] 等边三角形[解析] ∵·=8,∴80、81、·82、83、cos<,>=8,∴4×4×cos<,>=8,∴cos<,>=,∴<,>=60°,又84、85、=86、87、,∴三角形是等边三角形.12.若88、a89、=6,90、b91、=4,a与b的夹角为135°,则a在b方向上的投影为________.[答案] -3[解析] ∵a=6,92、b93、=4,a与b的夹角为135°,∴a与b方向上的投影为94、a95、cos135°=6×(-)=-3.三、解答题13.在△ABC中,a=5,b=8,C=60°,求·.[解析] ∵C=60°,∴<,>=120°,又96、97、=a=5,98、99、=b=8,∴·=100、101、·102、103、·cos<,>=5×8×cos1104、20°=-20.14.已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2,求下列向量的数量积.(1)·;(2)·;(3)·;(4)·.[解析] (1)∵<,P1P3>=,105、106、=2.∴·=107、108、·109、110、cos=2×2×=6.(2)∵<,>=,111、112、=4,∴·=4×4×cos=4.(3)∵<,>=,∴·=0.(4)∵<,>=,∴·=2×2×cos=-2.15.在△ABC中,三边长均为1,设=c,=a,=b,求a·b+b·c+c·a的值.[解析] ∵113、a114、=115、b116、=117、c118、=1,∴=120°,=120°,=120°,∴a·b=119、a120、121、b122、cos120°=-,b·c=123、b124、125、126、c127、cos120°=-,c·a=128、c129、130、a131、cos120°=-,∴a·b+b·c+c·a=-.16.已知132、a133、=2134、b135、≠0,且关于x的方程x2+136、a137、x+a·b=0有实根,求a与b的夹角的取值范围.[解析] ∵方程x2+138、a139、x+a·b=0有实根,∴Δ=140、a141、2-4a·b≥0,∴a·b≤142、a143、2.cos===≤=,又∵0≤≤π,∴≤≤π.即a与b的夹角的取值范围为.17.定义144、a×b145、=146、a147、·148、b149、·sinθ,
56、b>∈[0,π],∴=.二、填空题9.(2009·江苏)已知向量a和向量b的夹角为30°,
57、a
58、=2,
59、b
60、=,则向量a和向量b的数量积a·b=____.[答案] 3[解析] a·b=
61、a
62、
63、b
64、cos〈a,b〉=2××cos30°=2××=3.10.已知
65、a
66、=4,
67、b
68、=6,且a·b=-12,则向量a在向量b方向上的正射影的数量为________.[答案] -2[解析] ∵
69、a
70、=4,
71、b
72、=6,a·b=-12,cos===-,∴a在b上的正射影的数量为
73、a
74、·cos=-2.11.已知△ABC中,
75、
76、=
77、
78、=4,且·=8,则这个三角形的形状为_____
79、___.[答案] 等边三角形[解析] ∵·=8,∴
80、
81、·
82、
83、cos<,>=8,∴4×4×cos<,>=8,∴cos<,>=,∴<,>=60°,又
84、
85、=
86、
87、,∴三角形是等边三角形.12.若
88、a
89、=6,
90、b
91、=4,a与b的夹角为135°,则a在b方向上的投影为________.[答案] -3[解析] ∵a=6,
92、b
93、=4,a与b的夹角为135°,∴a与b方向上的投影为
94、a
95、cos135°=6×(-)=-3.三、解答题13.在△ABC中,a=5,b=8,C=60°,求·.[解析] ∵C=60°,∴<,>=120°,又
96、
97、=a=5,
98、
99、=b=8,∴·=
100、
101、·
102、
103、·cos<,>=5×8×cos1
104、20°=-20.14.已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2,求下列向量的数量积.(1)·;(2)·;(3)·;(4)·.[解析] (1)∵<,P1P3>=,
105、
106、=2.∴·=
107、
108、·
109、
110、cos=2×2×=6.(2)∵<,>=,
111、
112、=4,∴·=4×4×cos=4.(3)∵<,>=,∴·=0.(4)∵<,>=,∴·=2×2×cos=-2.15.在△ABC中,三边长均为1,设=c,=a,=b,求a·b+b·c+c·a的值.[解析] ∵
113、a
114、=
115、b
116、=
117、c
118、=1,∴=120°,=120°,=120°,∴a·b=
119、a
120、
121、b
122、cos120°=-,b·c=
123、b
124、
125、
126、c
127、cos120°=-,c·a=
128、c
129、
130、a
131、cos120°=-,∴a·b+b·c+c·a=-.16.已知
132、a
133、=2
134、b
135、≠0,且关于x的方程x2+
136、a
137、x+a·b=0有实根,求a与b的夹角的取值范围.[解析] ∵方程x2+
138、a
139、x+a·b=0有实根,∴Δ=
140、a
141、2-4a·b≥0,∴a·b≤
142、a
143、2.cos===≤=,又∵0≤≤π,∴≤≤π.即a与b的夹角的取值范围为.17.定义
144、a×b
145、=
146、a
147、·
148、b
149、·sinθ,
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