《全微分讲座》ppt课件

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1、1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先代后求(复杂时)如P694先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法、(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)§内容回顾公式法在原点的各偏导数是否存在？讨论：是否连续？2显然求的一阶偏导数及解:当时,及(0,0)点处的二阶偏导数.同理不存在．与而显然解:当时,不存在,不存在,*二、全微分在数值计算中的应用(简介)应用一元函数y=f(x)的微分近似计算

2、本节内容:一、全微分的定义全微分一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义得可微必连续:函数在该点连续偏导数存在函数可微则定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y

3、)可微,则该函数在该点偏导数同理可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量另函数也必连续反例:函数易知fx(0,0)=fy(0,0)=0注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:我们已知道函数f(x,y)在(0,0)处不连续,则当然不可微.定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微.所以函数在点可微.注意到,故有例如考查函数易知也连续,但因此,函数在点(0,0)不可微.定理3(可微的充要条件)!!!在原点：偏导数是否存在？讨论：是否连续？是否可微？20.所以…不可微.推

4、广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是(一阶偏导数连续)例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:可知当*二、全微分在数值计算中的应用仅从理论上简单讲述在近似计算方面的应用由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算函数的增量)(可用于近似计算函数值)例3.计算的近似值.解:设,则取则§9.3内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续3.微

5、分在近似计算中的应用(略)(反例略)思考与练习1.P129题1(总习题九)函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题3.设解:同理可得（先代入）（后求导）作业P751(3),(4);3.预习§9.44).f(x,y)在点(0,0)可微.备用题1).在点(0,0)连续;2).偏导数存在;不连续;证:1)显然故函数在点(0,0)连续;3).偏导数在点(0,0)证明函数2)同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.3)4)下面证明可微:说明:此

6、题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则