《课件83全微分》PPT课件

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1、第三节全微分一、全微分的定义二、可微的条件三、近似公式一元函数y=f(x)的微分1.近似计算2.估计误差应用全增量的概念称为函数在点P(x,y)对应于自变量增量的全增量.一、全微分的定义一元函数y=f(x)的微分全微分的定义函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.函数偏导数存在函数连续函数f(x,y)在(x,y)可微分函数在该点连续.由微分定义得证故函数在点处连续.二、可微的条件全微分公式证总成立,同理可得因此，当时，上式仍成立，如果函数在点可微分,此时解所求全微分例1计算函数在点处的全微分.解例2求函数当时的全微分.全微分公式全微分的定义可推广到三元及三元以上函数通常我

2、们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．偏微分偏增量近似等于偏微分有解所求全微分例3计算函数的全微分.一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在例如，微分存在全微分存在．讨论全微分是否存在，在点处有即则故函数在点处不可微.说明它不能随着而趋于0,若点沿着直线趋近于多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在.偏导数但函数在点处不可微.多元函数偏导数存在全微分存在.函数可导函数可微对于一元函数，有偏导数存在全微分存在.要证函数可微分，即考虑证x的一元函数由拉格朗日中值定理，有因在(x,y)连续，故(无穷小)同理，当时，上

3、二式相加,得全增量其中要证可微，只须证因此，即当时，即在点是可微分的.只须证多元函数连续、可偏导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可偏导三、近似公式当较小时，就有近似公式：函数f(x,y)在(x,y)可微分，则即或绝对误差与相对误差设的绝对误差为则而其相对误差约为即g的绝对误差约为一、多元函数全微分的概念二、多元函数全微分的求法小结则可微，且由公式三、多元函数连续、可偏导、可微的关系（注意：与一元函数的区别）函数可微函数连续偏导数连续函数可偏导思考题作业p.24习题8－31;2;3；6；9