线性代数课件河北理工学院第四章特征值与特征向量 第1节.ppt

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1、向量的内积方阵的特征值与特征向量相似矩阵实对称矩阵的相似矩阵向量的内积与长度两向量的夹角标准正交基施密特正交化方法正交矩阵与正交变换一、向量的内积与长度定义1设有n维向量TTx(x,x,,x),y(y,y,,y)12n12nn记[x,y]xiyix1y1x2y2...xnyni1则[x,y]称为向量x与y的内积T注意（1）按矩阵乘法有：[x,y]xy（2）内积就是几何向量的数量积之推广。内积具有下列运算性质：设x,y,z为n维向量，为实数，则有：(1)[x,y][y，x]（对称性）(2)[x,y][x，y]（线性性）(3)

2、[xy,z][x，z][y,z](4)[x,x]0,且当x0时有[x,x]0.（正定性）T定义2设有n维向量x(x,x,,x)12n记222x[x,x]xxx12n则称x为n维向量x的长度（或模，或范数）特别地，当x1时，称x为单位向量。T例如4维向量(2,1,3,2)的长度为：222221321832而向量2222T(,,,)为单位向量3623向量的长度有下述性质：1）非负性：当x0时，x0;当x0时,，x0;2）齐次性：xx3）三角不等式：xyxy另外，由向量的内积、长度及其性质不

3、难证明下述施瓦茨不等式：2[x,y][x,x][y,y]式中的等号仅当向量x,y线性相关时才成立。二、两向量的夹角[x,y]由上述施瓦茨不等式易得：1(当xy0)xy于是有下面的定义：定义3当x0,y0时,[x,y]记arccosxy则称θ为n维向量x与y的夹角。TT例1已知4维向量x(2,1,3,2),y(1,2,2,1)求：向量x,y的夹角。2222解x[x,x]213218322222y[y,y]12(2)110[x,y]21123(2)210[x,y]arccosarcco

4、s0xy2故所求向量的夹角为：2三、标准正交基定义4当[x,y]0时，称向量x与y正交。TT如上述例1中的向量x(2,1,3,2),y(1,2,2,1)就正交。显然，零向量与任何向量正交。定义5一组两两正交的非零向量，叫正交向量组。定理1如果n维向量1,2,...,m为正交向量组，则,,...,线性无关。12m证明设有1，2，m使1122...mm0TT以左乘上式两端，得01111T2因10，故1110，从而10。类似可证0，0,2m于是,,...,线性无关。1

5、2m定义6若向量空间V的一组基中向量两两正交，则称这组基为向量空间V的正交基。特别地，由单位向量组成的正交基叫做标准正交基（或规范正交基）TT例如1(1,0,,0),2(0,1,,0)T,,(0,0,,1)nn是R空间的标准正交基。一般地，向量空间的一个基不一定是规范正交基。由向量空间V的一个基1,2,...,m，求其一个规范正交基，就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,...,em使1,2,...,m与e1,e2,em等价上述问题称为把1,2,...,m这个基规范正交化。具体操作方法如下：四、施密特正交化方法把

6、基1,2,...,n化成标准正交基的具体步骤：[,]先正交化：21令11，221[,]112[,][,][,]3i313233i312i1[i,i][1,1][2,2]n1[,]ni如此归纳下去有：nnii1[i,i]1再标准化（单位化）：令(i1,2,n)iii则1,2,...,n是向量空间V的标准正交基。例2试把下列向量组化为标准正交向量组。TTT(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)1231

7、1解令1100则[,]11100100121[,]11110000211110.5[2,1]0110.522[,]11201110002[,][,][,]3i313233i312i1[i,i][1,1][2,2]110.51/301110.51/30203

8、11/3100