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《应用高等数学 教学课件 ppt 作者 胡桐春ppt 2.6.1 多元函数的偏导数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、多元函数的偏导数与极值§2.62.6.1多元函数的偏导数2.6.2多元函数的极值6.2.1多元函数的偏导数结束例1矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系S=xy(x>0,y>0)，1.引例其中长x和宽y是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应.为某商品的销售量，为商品的销售价格，为购买商品的人数为设此种商品的销售量与，有关系：其中，，，均为正常数例2一、多元函数的概念2.二元函数的定义定义1设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z为x，y的二
2、元函数，记作z=f(x,y)或z=z(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义域.类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的两个要素。函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围.例3求出二元函数的定义域.解自变量x，y必须满足不等式此即函数定义域.3.二元函数的几何意义在一定条件下，函数z=f(x,y)的几何图形是一张曲面.而定义域D正是这曲面在平面上的投
3、影.二、偏导数的概念定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量△x时，相应函数有增量称为关于x的偏增量．记为相应的即偏增量1.偏导数的定义如果极限存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记作即类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为记为如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x的偏导数，即存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数z=f(x,y)对x的偏导函数，记作偏导函数:类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变量y的
4、偏导函数为记作二元以上多元函数的偏导数可类似地定义.例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导函数定义为偏导数可类似的定义2、偏导数的求法求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用.例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求时，可将自变量y看成常数(即将z看成x的一元函数)，只需z对x求导.若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值，即，这样就得到了函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的
5、偏导数.也可以先将y=y0代入z=f(x,y)中，得z=f(x,y0)，然后对x求导数fx(x,y0)，再以x=x0代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，y为常数y0.例4求函数在点(1,3)处对x和y的偏导数.解将点(1,3)代入上两式，得例5求函数的偏导数.解例6求函数的偏导数.解例7求函数的偏导数.解偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元函数导数记号是不同的，可看成函数的微分dy与自变量微分dx之商.三、高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D内有偏导数二元函数的二阶偏导数为：同样可得三阶、四阶以至n阶偏
6、导数(如果存在的话).一个多元函数的n–1阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.例8求的二阶偏导数.解例9解例10设，求解小结1、多元函数的概念；2、多元函数的偏导数；练习与作业（1）课堂练习：练习题2.6（2）课外作业：练习册第二章练习九
