高中数学 1.4.2 微积分基本定理学案 新人教B版选修.doc

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1、1.4.2　微积分基本定理1．理解并掌握微积分基本定理．(重点、易混点)2．能用微积分基本定理求定积分．(难点)3．能用定积分解决有关的问题．[基础·初探]教材整理　微积分基本定理阅读教材P40～P41，完成下列问题．1．F′(x)从a到b的积分等于F(x)在两端点的取值之__________.2．如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则f(x)dx＝____________________.其中F(x)叫做f(x)的一个__________．由于[F(x)＋c]′＝f(x)，F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．一般地，原函数在[a，b]上的改变量F

2、(b)－F(a)简记作F(x).因此，微积分基本定理可以写成形式：____________________.【答案】　1.差　2.F(b)－F(a)　原函数　f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．(　　)(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.(　　)(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．(　　)【答案】　(1)√　(2)√　(3)√2．若a＝(x－2)dx，则被积函数的原函数为(　　)A．f(x

3、)＝x－2　　　　　　B．f(x)＝x－2＋CC．f(x)＝x2－2x＋CD．f(x)＝x2－2x【解析】　由微积分基本定理知，f′(x)＝x－2，∵′＝x－2，∴选C.【答案】　C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]利用微积分基本定理求定积分　(1)定积分(2x＋ex)dx的值为(　　)A．e＋2　　　　　　B．e＋1C．eD．e－1(2)求下列定积分．①(x2＋2x＋3)dx；②sin2dx.【自主解答】　(1)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(12＋e)－(02＋e0)

4、＝1＋e－1＝e.【答案】　C(2)①(x2＋2x＋3)dx＝x2dx＋2xdx＋3dx＝＋x2＋3x＝.②sin2＝，而′＝－cosx＝sin2，∴sin2dx＝＝－＝.求简单的定积分关键注意两点1．掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解．2．精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．[再练一题]1．(1)若(kx＋1)dx＝2，则k的值为(　　)A．1B．2C．3D．4(2)dx＝________.【导学号：】【解析】　(1)(kx＋1)dx＝＝k＋1＝2，∴k＝2.(2)dx＝dx＝＝－(ln1＋1)＝

5、ln2－.【答案】　(1)B　(2)ln2－求分段函数的定积分　计算下列定积分．(1)f(x)＝求f(x)dx；(2)

6、x2－1

7、dx.【精彩点拨】　(1)按f(x)的分段标准，分成，，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．【自主解答】　(1)f(x)dx＝sinxdx＋1dx(x－1)dx＝(－cosx)＋x＋＝1＋＋(4－0)＝7－.(2)

8、x2－1

9、dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝＋＝2.1．本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a，b]上的定积

10、分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．[再练一题]2．计算定积分：(

11、2x＋3

12、＋

13、3－2x

14、)dx.【解】　设f(x)＝

15、2x＋3

16、＋

17、3－2x

18、，x∈[－3,3]，则f(x)＝所以(

19、2x＋3

20、＋

21、3－2x

22、)dx＝(－4x)dx＋－6dx＋4xdx＝－2x2＋6x＋2x2＝－2×＋6×＋2×＝45.[探究共研型]利用定积分求参数探究1　满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？【提示】　不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值．探究2　如何求对称区间上的定积分？【提示】　在求对称区间上的定

23、积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便．　已知f(x)是一次函数，其图象过点(1,4)，且f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．【精彩点拨】　设出函数解析式，由题中条件建立两方程，联立求解．【自主解答】　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，因为函数的图象过点(1,4)，所以k＋b＝4.①又f(x)dx＝(kx＋b)dx＝＝＋b，所以＋b＝1.②由①②得k＝6，b＝－2，所以f(x)＝6x－2.1．含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，利用微