两个重要极限练习题.doc

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1、.1-7两个重要极限练习题教学过程：引入：考察极限问题1：观察当x®0时函数的变化趋势：x(弧度)0.500.100.050.040.030.02...0.95850.99830.99960.99970.99980.9999...当x取正值趋近于0时，®1，即=1；当x取负值趋近于0时，-x®0,-x>0,sin(-x)>0．于是．综上所述，得一．．的特点：(1)它是“”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是；(2)在分式中同时出现三角函数和x的幂．推广　　如果j(x)=0,(a可以是有限数x

2、0,±¥或¥)，则　　　　　　　==1．例1求．解　=．例2求．解　=．例3求．解　=．例4求．..解　令arcsinx=t，则x=sint且x®0时t®0．所以=．例1求．解　=　　　　　　=．考察极限问题2：观察当x®+¥时函数的变化趋势：x1210100010000100000100000...22.252.5942.7172.71812.71822.71828...当x取正值并无限增大时，是逐渐增大的，但是不论x如何大，的值总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x®+¥时，可以验证是趋近于一

3、个确定的无理数e＝2.718281828...．当x®-¥时，函数有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．综上所述，得　　　二．=e．=e的特点：（１）lim(1+无穷小)；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．推广　（１）若j(x)=¥,(a可以是有限数x0,±¥或¥)，则　　　　　=e；（２）若j(x)=0,(a可以是有限数x0,±¥或¥)，则　　　　　=e．变形　令=t，则x®¥时t®0，代入后得到．如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1¥，因此通常称之为1¥不定型

4、．..例1求．解　令－=t，则x=－．当x®¥时t®0，于是　　　==e–2．例2求．解　令=1+u，则x=2－．当x®¥时u®0，于是　　　===e-1．例3求．解　设t=tanx，则＝cotx．当x®0时t®0，于是　　　==e．小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见首页..§2-1导数的概念教学过程：引入：一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段下落的路程s由公式s=gt2来确定．现在来求t=1秒这一时刻质

5、点的速度．当Dt很小时，从1秒到1+Dt秒这段时间，质点运动的速度变化不大，可以这段时间的平均速度作为质点在t=1时速度的近似．Dt(s)Ds(m)(m/s)0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度随着Dt变化而变化，当Dt越小时，越接近于一个定值—9.8m/s．考察下列各式：　　　　Ds=g×(1+Dt)2－g×12=g[

6、2×Dt+(Dt)2]，=g×=g(2+Dt)，思考：当Dt越来越接近于0时，越来越接近于1秒时的“速度”．现在取Dt®0的极限，得g=9.8(m/s)．为质点在=1秒时速度为瞬时速度．一般地，设质点的位移规律是s=f(t)，在时刻t时时间有改变量Dt，s相应的改变量为Ds=f(t+Dt)-f(t)，在时间段t到t+Dt的平均速度为=，对平均速度取Dt®0的极限，得v(t)=，称v(t)为时刻t的瞬时速。研究类似的例子实例2曲线的切线设方程为y=f(x)曲线为L．其上一点A的坐标为(x0,f(x0))

7、．在曲线上点A附近另取一点B，它的坐标是(x0+Dx,f(x0+Dx))．直线AB是曲线的割线，它的倾斜角记作b..．由图中的RtDACB，可知割线AB的斜率f(x0+Dx)xyOABx0x0+Dxf(x0)TCbatanb=．在数量上，它表示当自变量从x变到x+Dx时函数f(x)关于变量x的平均变化率(增长率或减小率)．现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时Dx®0，过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置——直线AT，我们就称L在点A处存在切线AT．记AT的倾斜角为a，则a为b的极限，若a¹90°

8、，得切线AT的斜率为tana=tanb=．在数量上，它表示函数f(x)在x处的变化率．上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体容不同，但本质都是要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率．1.自变量x作微小变化Dx，求出函数在自变量这个段的平均变化率=，作为点x处变化率的近似；2.对求Dx®0的极限，若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值．二、导数的定义1.函数在一点处可导的概念定义设函数y=f(x)在x0的某个邻域有定义．对