2019年二重积分的概念与性质课件.ppt

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1、第八章二重积分1复习定积分1.曲边梯形的面积2.定积分思想：分割、近似、求和、取极限.2三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性二重积分的概念与性质第八章3(1)曲顶柱体的定义:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面１．曲顶柱体的体积8-1二重积分的概念与性质一、引例xozyD4(2)求曲顶柱体体积的意义：由空间曲面所围成的任意空间立体的体积都可以转化为曲顶体积的体积的代数和.5(3)求曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平顶.6(3)求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演

2、示．7(3)求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．8(3)求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．9(3)求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．10(3)求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．11(3)求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．12xozyD处理该类问题的基本思路：无限细分(化曲为直)、无限求和！13步骤如下：用若干个小平顶柱先分割

3、曲顶柱体的底，曲顶柱体的体积为各小闭区域的直径的最大者.曲顶柱体的体积，体体积之和近似并取典型小区域，14２．求平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为其面密设D的面积为,则若非常数,仍可用(常数)“分割，近似，求和,取极限”解决.所有小块质量之和近似等于薄片总质量:其中：为各小闭区域的直径的最大者.15两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割，近似，求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:(3)极限值均取决与一个函数与其定义区域.16二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存

4、在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,则称称为积分变量171.对定义的说明：表示一个确定的数值，它只与有关，与D的分割法、的取法、积分变量所使用的字母无关，即(1)(2)当在闭区域D上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(3)底为D，顶为的曲顶柱体的体积为：平面薄片的质量为：182.二重积分的几何意义即当被积函数大于零时，当被积函数小于零时，二重积分二重积分是柱体的体积．特殊地：若在D上,则D的面积是柱体的体积的负值.？19则面积元素为D3.直角坐标系下的面积元素如果在D上可积,也常二重积

5、分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作？20性质１当k为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质1,性质2统称为线性性质.21性质３对区域D具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有22性质6（二重积分中值定理）(二重积分估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点使得证：由闭区域上连续函数的介质定理，使23例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上

6、方,故在D上与直线24解例2比较积分与的大小，其中D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).三角形斜边方程为在D内有故于是因此2...25例3.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D26解例4区域D的面积在D上由性质6知27解在D上，例5估计积分的值，其中D是圆形区域：而区域D的面积由性质6知所以即28四、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算二重积分.29yzxxyz30注意:注：关于对称，即互换，保持不变.（轮换对称性），31例6解由轮换对称性，有32五、小结定义：性质:2.二重积分:思考题将二重积分定义与定积分定义进

7、行比较,找出它们的相同之处与不同之处.二重积分与定积分有类似的性质.1.定积分:33作业：P280,5,7(4),8(1)预习：从338到345页34例7.证明:其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.35定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，思考题解答:被积函数为定义在平面区域上的二元函数．的一元函数，积分的积分区域为区间，且此值只与被积函数及积分区域有关．而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在区间上不同的是定要求:复习上期所学的积分公