反例教学法在概率论与数理统计教学中的应用与研究

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1、反例教学法在概率论与数理统计教学中的应用与研究【摘要】在概率论与数理统计教学中，以随机事件与概率一章为教学案例，举出3个典型性反例案例，在教学中加以应用，培养学生的逆向思维和敏捷性思维。【关键词】逆向思维;反例教学法;随机事件;概率Counter-exampleTeachingMethodintheResearchofProbabilityandStatistics――RandomEventandProbabilityforExampleMEIFangZENGChun-huaWANGQiao-ling（Colleg

2、eofScience，JiangxiAgriculturalUniversity，NanchangJiangxi330045，China）【Abstract】Intheprocessofteachingprobabilityandstatistics，takingtheChapterofrandomeventandprobabilityasteachingcases，threetypicalcounterexamplesweretakenasexamples，andalsotheapplicationsofthem

3、wereintroducedtocultivatethestudents’reversethinkingandagilethinking.【Keywords】Reasoningbackward;Counterexampleteachingmethod;Randomevent;Probability7对于分析、解答处理问题的思维方法，逆向思维方法与顺向思维方法相对而言的。顺向思维是按照已知条件出现的先后顺序进行思考的;而逆向思维是是从反方向（或从问题的结果）出发，不依照问题出现的先后顺序，从而逆转推理的一种思维方法。

4、1概率论与数理统计和反例教学法在概率论与数理统计的教学中会碰到许多用逆向思维求解的内容，例如，显著性假设检验的原理是小概率事件实际不可能原理，在一次实验中小概率事件是不会发生的，但是在一次显著性假设检验过程中小概率事件居然发生了，说明原命题是假的。统计中大量的反例教学是教学中的难点，也是学生理解概率统计问题的难点。我们知道，要断定一个命题正确，必须经过严密的推理论证，而要否定一个命题，只要能举出一个与结论矛盾的例子就可以了，这种与命题相矛盾的例子称为反例。反例教学法是从原问题的相反方向着手的一种思维教学法，对于某些

5、特定的问题，从结论倒过来思考，会使得问题清晰简单。它是数学思维的一个重要方面，是创造性思维的一个组成部分，也是进行思维训练的载体。在概率论与数理统计教学中始终贯穿反例教学法，是培养学生逆向思维的过程也是培养学生思维敏捷性的过程。本文以大学数学公共课概率论与数理统计课程教学中的事件与概率一章为例，归纳总结反例教学法在此章节的应用与研究。72三个典型性结论及其反例在教学过程中，随机事件及其概率这一章节中的可以归纳出很多个理论公式和结论，本文中只是举三个典型性结论，然后举出反例加以推理验证，刺激学生的好奇心和兴趣，从而使

6、得学生更加透彻的理解数理统计概念，更加好学，更加具有专研精神，更有助于学生数学思维的培养。符号：A，B，C：随机事件Ω：必然事件;样本空b间;？�：不可能事件定理1用事件的运算关系表示事件的方法不一定唯一例如，用A，B，C的运算关系表示事件D={A，B，C中不多于一个事件发生}，根据事件的和、差、积及其逆事件的概念，可以写出下面四种不同的表示法：D=ABC∪ABC∪ABC∪ABC;D=AB∪AC∪BC;D=Ω-AB∪AC∪BCD=Ω-ABC-ABC-ABC-ABC定理2样本点不一定是事件按照概率的公理化体系可知，样

7、7本点是样本空间Ω的元素，而事件是事件域中F中的元素，它是样本点的某些子集.在古典概型中，样本空间Ω只含有穷个点，所以Ω也是有穷的.此时常常把Ω的一切子集都视为事件.但却不能由此认为样本点一定是事件.实际上，并不把Ω的一切子集都当作事件来研究。例如，现从标有数字1～10的十个球，任取一球，样本空间Ω={1，2，…，10}令A={所取球的号码为偶数}={2，4，6，8，10}A={所取球的号码为偶数}={1，3，5，7，9}我们只考虑事件？�，A，A，Ω时，容易验证F={？�，A，A，Ω}为一事件域，于是Ω中的样本点

8、B={所取球的号码为4}就不是事件域F中的元素，即B={4}不是F中的事件。定理3对“等可能性”的理解不同，得到的概率不一定相同在概率论发展的早期，大部分的人都相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题唯一的解答，但事实上确并非如此，这是个经典的著名反例，贝特朗（Bertrand）奇论（贝特朗在1887年出版的《概率论教程》一书中构造了这个例子）：在