2014《成才之路》高一数学（人教a版）必修4能力提升：3-2-1 三角恒等变换

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1、能力提升一、选择题1．函数y＝sin2xcos2x是(　　)A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数[答案]　A[解析]　y＝sin4x，T＝＝.又f(－x)＝sin(－4x)＝－sin4x＝－f(x)，它是奇函数．2．若f(tanx)＝sin2x，则f(－1)＝(　　)A．－2　　　B．－1　　　C．0　　　　D．1[答案]　B[解析]　f(－1)＝f[tan(－＋kπ)]＝sin2(－＋kπ)＝sin(－＋2kπ)＝－1.3.·等于(　　)A．tanαB．tan2αC．1D.[答案]　B[解析]　原式＝＝＝＝tan2α.4．已知钝角α

2、满足cosα＝－，则sin等于(　　)A.B.C.D.[答案]　C[解析]　∵α为钝角，∴sin>0.∴sin＝＝＝.5．若＝－，则cosα＋sinα的值为(　　)A．－B．－C.D.[答案]　C[解析]　法一：原式左边＝＝＝－2cos＝－(sinα＋cosα)＝－，∴sinα＋cosα＝，故选C.法二：原式＝＝＝－(sinα＋cosα)＝－，∴cosα＋sinα＝，故选C.6．(2012·全国高考山东卷)若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　　)A.B.C.D.[答案]　D[解析]　由θ∈可得2θ∈，cos2θ＝－＝－，sinθ＝＝，答案应选D.另解：由θ∈及sin2

3、θ＝可得sinθ＋cosθ＝＝＝＝＝＋，而当θ∈时sinθ>cosθ，结合选项即可得sinθ＝，cosθ＝.答案应选D.二、填空题7．已知tan＝，则cosα＝________.[答案]　[解析]　∵tan＝±，∴tan2＝.∴＝，解得cosα＝.8．函数f(x)＝2cos2＋sinx的最小正周期是________．[答案]　2π[解析]　化简得f(x)＝1＋sin(x＋)，∴T＝＝2π.9．若sin＝，则tan2x＝________.[答案]　4[解析]　sin＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝＝＝，解得tan2x＝4.三、解答题10．已知sinα＝，sin(α

4、＋β)＝，α、β均为锐角，求cos的值．[解析]　∵0<α<，sinα＝，∴cosα＝＝.又∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.若0<α＋β<，∵>，即sinα>sin(α＋β)，∴α＋β<α不可能．∴<α＋β<π.又∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.而0<β<，0<<，∴cos＝＝.11．已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(－sinθ，cosθ)，θ∈(π，2π)，且

5、m＋n

6、＝，求cos(＋)的值．[解析]　m＋n＝(cosθ－sinθ＋，co

7、sθ＋sinθ)，∵π<θ<2π，∴<＋<.∴cos(＋)<0.由已知

8、m＋n

9、＝，得

10、m＋n

11、＝＝＝＝＝2＝2＝－2cos(＋)＝，∴cos(＋)＝－.12．(2013山东潍坊高一期末)已知cos(π－α)＝，α∈(－π，0)．(Ⅰ)求sinα.(Ⅱ)求cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(π－)的值．[解析]　(Ⅰ)∵cos(π－α)＝－cosα＝，∴cosα＝－，又∵α∈(－π，0)，∴sinα＝－＝－.(Ⅱ)cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(－)＝[1＋cos(－α)]＋(－sin)·(－cos)＝＋sinα＋sin·cos＝＋sinα＋sinα＝＋

12、sinα＝＋(－)＝.