2013年1月石景山高三数学(理)试题参考答案

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1、石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BADCCABC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号91011121314答案2；69①③(9题、11题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为，所以.所以函数的定义域为……………2分……………5分……………7分（Ⅱ）因为，所以……………9分当时，即时，的最大值为；……………11分当时，即时，的最小值为.………13分16．（本小题共1

2、4分）（Ⅰ）证明：在△中，.又.由.…………………………4分A1BCDExzy（Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系．……………………5分．设为平面的一个法向量，因为所以，令，得.所以为平面的一个法向量．……………………7分设与平面所成角为．则．所以与平面所成角的正弦值为．…………………9分（Ⅲ）设,则…………………12分当时,的最小值是．即为中点时,的长度最小,最小值为．…………………14分17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有且相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概

3、率为.…………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有＝，…………………5分所以，.……………………7分（Ⅲ）的所有可能取值为.……………………8分所以，，，=＝.……………………11分分布列为：……………………12分所以，.………………13分18．（本小题共13分）（Ⅰ）…………………1分，，所以切线的方程为，即．…………………3分（Ⅱ）令则↗最大值↘…………………6分，所以且，，，即函数的图像在直线的下方．…………………8分（Ⅲ）令，.令，，则在上单调递增，在上单调递减，当时，的最大值为.所以若，则无零点

4、；若有零点，则．………………10分若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.综上所述，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.…………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，又因为，所以，解得，故椭圆方程为．…………………4分（Ⅱ）

5、将代入并整理得，解得．…………………7分（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．设，，则．…………………9分所以直线的斜率互为相反数．…………………14分20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。因为，显然有，由得解得.所以当时，是数列的保三角形函数.…………………3分（Ⅱ）由，得，两式相减得，所以…………………5分经检验，此通项公式满足.显然,因为,所以是三角形数列.…………………8分（Ⅲ）,所以单调递减.由题意知，①且②,由①得，解得,由②得，解得.即数列最多有26项.…………………13分【注：

6、若有其它解法，请酌情给分．】