恒等变换与伸压变换(课时3)

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1、省丹中数学　选修４－２　　2021-07-25课时３　恒等变换与伸压变换【教学目标】掌握恒等变换与伸压变换的矩阵表示及其几何意义，了解单位矩阵【教学过程】一、问题情境xyO1212ACBxyO1212ACB如图△，其中，它们在变换T作用前后保持位置不变，能否用矩阵M来表示这一变换？如果能，矩阵M是什么？我们可以看出，在变换T的作用前后，△上所有点的位置都没有发生变化，因此有，变换T对应的矩阵为。若分别记点A,B,C为列向量，则，，二、数学建构恒等变换矩阵（单位矩阵）和恒等变换实际上，对平面上任何一点（向量）或图形施以矩阵对应

2、的变换，都把自己变成自己。我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应的变换称作恒等变换。三、例题讲解例1．研究坐标平面上正方形OBCD在矩阵作用下所得几何图形。其中O（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）。4省丹中数学　选修４－２　　2021-07-25A2CD1B12xy11yx234A2CD1B1xy112yx伸压变换已知正方形ABCD，其中能否分别用矩阵来表示变换？从图中我们可以看出，变换使得正方形上的每个点的横坐标不变，而纵坐标向下压缩为原来的一半，所以有，　故变换对应的矩阵为同理，，

3、故变换对应的矩阵为从图我们可以看出，正方形的点在矩阵M对应的变换作用下沿y轴负方向被纵向压扁了，而在矩阵N对应的变换作用下沿x轴的正方向被横向拉长了。像矩阵，这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y或x轴的垂直伸压变换矩阵，对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换。注:伸压变换不是简单地把平面上的点（向量）“向下”压，它是向x轴方向压缩，x4省丹中数学　选修４－２　　2021-07-25轴上的点变换前后原地不动。同理，伸压变换使得y轴左边的点沿x轴负方向拉伸2倍，右边的点沿x轴正方

4、向拉伸2倍，而y轴上的点变换前后原地不动。显然，线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线．恒等变换是伸压变换的特例。【例题讲解】例1．如图所示，已知曲线经过变换T作用后变为新的曲线C，试求变换T对应的矩阵M,以及曲线C的解析表达式。例2．验证圆C:在矩阵对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程4省丹中数学　选修４－２　　2021-07-25【课后练习】1．研究直角坐标平面内正方形OBCD在矩阵对应的变换作用下得到的几何图形，其中2．考虑以下各向量在矩阵对应的变换作用下的结果，并从几何变换的角度解释所得结果：3．求

5、在伸压变换矩阵作用下变换为△ABC的原几何图形顶点坐标,其中A(1,0),B(2,0)，C(4,2)，并用几何图形加以解释经过怎样的变换。4．若一条直线y=4x-4在伸压变换M作用下变成另一直线y=x-1，求M作业；书P331-44