矩阵的恒等变换、伸压变换(教案)

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1、矩阵的恒等变换、伸压变换一、恒等变换：1、定义：把任何一点（向量）或图形变换为自身的变换称为恒等变换．2、恒等变换矩阵：E＝，也称为单位矩阵．二、伸压变换：1、定义：沿竖直方向或水平方向伸长或压缩的平面图形变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换．2、垂直伸压变换矩阵：M＝或N＝（k＞0，且k≠1）．①矩阵M、N确定的变换分别将平面图形沿x轴、y轴方向伸长或压缩，当时伸长，当时压缩．②恒等变换可看作伸压变换的特殊情形（）．三、二阶矩阵的乘法：一般地，对于矩阵，规定乘法法则为.练习：1.=.解：.2．结果是答案：3．已知B＝，则矩阵B＝________.答案：解：设

2、B＝，则B＝，故解得故B＝.4．若点P(x，y)在矩阵对应的变换作用下得到点(2，－5)，则P点的坐标为_____．答案：.解：＝＝.∴　解得∴P.5.点M（1，3）在矩阵作用下变换得到点M1，点M1在矩阵作用下变换得到点M2，则M2的坐标是.答案：（-1，3）46.曲线y=在M=作用下变换的结果是曲线方程.答案：y=解：由TM：，即TM:，显然TM实施的是关于直线y=x的对称变换，曲线y=关于直线y=x对称的方程是y=.7、（1）已知变换，试将它写成坐标变换的形式；（2）已知变换，试将它写成矩阵乘法的形式.解（1）T：.（2）T：.8．（江苏）在平面直角坐

3、标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线，求的方程．解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点，则有，即，所以又因为点在椭圆上，故，从而，所以，曲线的方程是：．9．(苏锡常镇高三教学调查)已知a、b∈R，若M＝所对应的变换TM把直线l：3x－2y＝1变换为自身，试求实数a、b的值．解：在直线l上任取一点P(x，y)，设点P在TM的变换下变为点P′(x′，y′)，则＝，所以点P′(－x＋ay，bx＋3y)，∵点P′在直线l上，∴3(－x＋ay)－2(bx＋3y)＝1，即(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1，∵方程(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1

4、即为直线l的方程3x－2y＝1，∴解得410．(金陵中学期中卷)已知矩阵M＝，矩阵M对应的变换把曲线y＝sinx变为曲线C，求C的方程．解：设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P0(x0，y0)在矩阵M变换下的对应点．则有＝，即，所以，又点P0(x0，y0)在曲线y＝sinx上，即y0＝sinx0，从而y0＝sin2x，所求曲线C的方程为y＝2sin2x.11．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程

5、．解：(1)设M＝，则有＝，＝，所以，且解得∴M＝.(2)设(x，y)为l上任一点，在矩阵M下变为点(x′，y′)．∴又(x′，y′)在m：x－y＝4上，代入有：(x＋2y)－(3x＋4y)＝4.化简得l的方程为x＋y＋2＝0.12、设曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为。求实数的值。413.如果曲线x2＋4xy＋3y2＝1在矩阵的作用下变换得到曲线x2－y2＝1，求a＋b的值．答案：2．14.若曲线+4xy+2=1在矩阵的作用下变换成曲线-2=1，则a+b=.解:由，知.∵，∴，即，比较系数得，解得，所以a+b=2.4