2017年湖南省长沙市高三第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）

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1、2017届湖南省长沙市高三第二次模拟考试数学（理）试题一、选择题1．若集合，，则满足的集合的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】可以是共4个.2．若复数满足（为虚数单位），则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知得.3．“”是“直线的倾斜角大于”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.4．已知数列是首项为1，公差为（）的等差数列，若81是

2、该数列中的一项，则公差可能是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由题设81是该数列中的一项，即所以,因为,所以.是80的因数，故.不可能是3.5．给出关于双曲线的三个命题：①双曲线的渐近线方程是；②若点在焦距为4的双曲线上，则此双曲线的离心率；③若点、分别是双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段的中点一定不在此双曲线的渐近线上.其中正确的命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①：双曲线的渐近线方程是，故①错误；对于②：双曲线的焦点为，，从而离心率，所以②正确；对于③：的中点坐标均不满足渐近线方程，所以③正确；故选C

3、.6．记不等式组所表示的平面区域为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据平面区域，易知当时，由题设得，所以，故选D.7．将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于时，其图象都依然是一个函数图象，因为是是的减函数，且,当且仅当时等号成立，故在函数的图象的切线中，处的切线倾斜角最大，其值为，由此可知，故选D.8．在体积为的球内有

4、一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由多面体的三视图知该多面体是如图所示的三棱锥，，且，当球是这个三棱锥的外接球时其体积最小，将这个三棱锥补成正方体，其外接球的直径就是正方体的对角线，所以，故选B.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．9．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书

5、九章》中提出了计算多项式的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式：，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（）A.B.C.D.【答案】A【解析】秦九韶算法的过程是，这个过程用循环结构来实现，应在题图中的空白执行框内填入，选A.10．已知函数（，），，，若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数的单调递增区间是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】由题设知的周期，所以，又的图象关于点对称，从而，即,因为，所以.故.再由，得，故选B.点

6、睛：已知函数的性质求解析式：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.11．过正方体的顶点作平面，使棱、、所在直线与平面所成角都相等，则这样的平面可以作（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．故选D．12．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则对任意，函数的零点个数至多有（）A.3个B.4个C.6个D.9个【答案】A【解析】当时,由此可知在上单调递减，在上单调递增，,且,数是定义

7、在上的奇函数，，而时，,所以的图象如图，令,则，由图可知，当时方程至多3个根，当时方程没有根，而对任意，至多有一个根，从而函数的零点个数至多有3个.点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.二、填空题13

8、．若，则__________．【答案】3【解析】，所以.14．若，则__________．【答案】251【解