运用对称巧转化 妙求线段和最值——例谈一节复习课的教学设计

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1、运用对称巧转化妙求线段和最值——例谈一节复习课的教学设计-中学数学论文运用对称巧转化运用对称巧转化妙求线段和最值——例谈一节复习课的教学设计-中学数学论文运用对称巧转化运用对称巧转化妙求线段和最值——例谈一节复习课的教学设计-中学数学论文运用对称巧转化妙求线段和最值——例谈一节复习课的教学设计林永贝（宁波象山金星学校，浙江宁波315731）摘要：近几年的中考压轴填空题或选择题，甚至在大题目中，经常会碰到求两线段和最值的问题，这类问题因为涉及的知识点多、背景丰富、形式灵活多样，往往使学生感到无从下手，求解有一定的

2、难度，结合自己几年的中考复习经验，笔者发现通过作轴对称等几何变换将其转化为基本模型，便可使问题迎刃而解。关键词：对称；线段；最值中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-05-0030-03一、教学目标1、理解各种类型的线段和最小值问题；2、学会分析问题，会利用基本类型解决以几何背景或函数背景下的线段和最小值问题；3、体会数学问题解决中体现出来的数学思想方法。二、教学重点和难点由于这类问题具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理和合情推理相

3、结合，对初三学生有一定的难度；重点是运用对称巧妙转化，利用“两点间线段最短”和“垂线段最短”求最值的过程。三、教学设计（一）创设情境，请你来试一试（原创）为响应党中央关于环保模范城市建设的号召，NB市计划开展煤气管道改造工程，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向不同的镇供气，请你来设计方案，怎样设计可以使所用的输气管线最短？问题1：如图1，若为A镇供气，泵站应建在燃气管道L上的何处，可使输气管线最短？问题2：如图2，要分别为燃气管道L两侧的A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？问题3：

4、如图3，要分别为燃气管道L同侧的A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？问题1方案设计依据：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。问题2方案设计依据：两点之间线段最短。问题3方案设计依据：先用轴对称转化为问题2模型，再根据两点之间线段最短。设计意图：设置三个解决最短路径的问题情境，由简入难，层层深入，让学生动手做一做，使学生在解决的过程中，既要建立数学建模的基本解题思想，又在解题时回顾、总结最短径的三个基本模型。教学建议：把这个材料作为“先行组织者”，课前发给学生，让学生对

5、三个方案进行设计，允许小组合作完成，让学生在进入课堂前就对本课学习的三个基本模型有较充分地思考，并在动手过程中复习了轴对称点的作法和两个基本的几何原理；课堂一开始就让小组代表对本小组所完成的方案设计在全班面前进行详细的阐述，然后教师作简要总结与点评，让学生养成对生活问题进行抽象和数学建模等几何化的习惯。（二）知史启智，引出课题小故事：“两线段之和最短”问题早在古罗马时代就有了。传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发

6、，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？如图3,这就是被称为“将军饮马”而广为流传的问题。“线段和求最小值”的基本数学模型，简称两点一线基本模型，也称将军饮马问题。即：若一个动点在直线上运动，一定能找到它到直线同侧两个定点距离之和最小的点。设计意图：通过历史小故事，让学生明白线段和最值的历史渊源，激发学生强烈的探索愿望，进一步强化将军饮马问题模型，即“两点一线求最小值”的基本数学模型，同时学会运用轴对称，将问题实现巧妙转化。教学建议：让学生自己读一读小故事，然后教师要对古代将军对数

7、学问题的探究和思考表示赞赏，并希望学生在数学学习中发扬将军的钻研精神，并对将军饮马的数学本质作进一步的强化，特别是转化思想，即：求CA+CB最小，作A或B的轴对称点，巧转化，使两点在直线的异侧，再利用“两点间线段最短”来求最值。（三）赏析往届试题，迎接2013年中考赏析题1：如图4，在边长为2的正△ABC中，P是高线AD上的一个动点，E是AC的中点，求PC+PE的最小值。赏析题2：如图5，已知正六边形ABCDEF的边长为1，M、N分别是AF和CD的中点，P是MN上的动点。求PA+PB的最小值。赏析题3：如图6，

8、梯形ABCD中，AD//BC，且BC=2，AB=AD=CD=1，M、N分别是AD、BC的中点，P是MN上的动点。求PA+PB的最小值。设计意图：让学生充分感知与轴对称图形载体结合所引发的求线段最小值问题，其解题的基本模式仍然是“将军饮马”问题：在一直线求一点P，使PA+PB最小，关键是：作一个点的轴对称点，巧转化，使两点在直线的异侧，再利用“两点间线段最短”来求最值。教学建议：以四人学