高考数学专题复习讲练测——专题九 应考指南 4 怎样答高考开放性和情景性问题

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1、§4怎样答高考开放性和情景性问题　　一、内容概要　数学问题由条件、结论、解题依据、解题方法等要素构成.条件的不完备、结论的不惟一、解题方法的多样性是数学开放题的基本特征．所谓情景性问题，就是通过数学内部各分支的知识和方法的相互渗透、自然嫁接、合理重组等手段产生的具有一定数学背景的新颖问题，或通过一般性语言来描述的具有实际背景的问题.由于这两种题型的解题套路较少，对数学思维方法及发现问题和分析问题的能力要求较高，因此，高考中常用这种问题来考查学生的数学素质和思维能力.就开放性问题而言，高考中出现的大都可归属于探索性问题，

2、可粗略地分为三种类型：　（1）条件开放型　　这类问题的外在形式是针对一个结论，条件未知或不全，或条件有误需纠错，解决的基本策略是执果索因，寻找结论成立的充分条件．判断条件有误时，常举例加以说明．　　（2）结论开放型　　这类问题的基本特征是有条件无结论或结论正确与否常需进一步证明确定.解决这类问题的一般方法是研究特例，观察、归纳、猜想，然后加以论证．对存在判断型，常以题设和假设存在为出发点进行推理，若推出矛盾，则否定存在；如不出现矛盾，则肯定存在．对于结论开放型问题常常要对不同的情形加以分类讨论．　　（3）方法探究型

3、　　这里指的是需用非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一个问题，难度较高的构造法即属此例．在探究方法的过程中，常常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，运用类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新的成分较高．　　二、基本方法讲解　　例1若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，求该四面体的体积.（只需写出一个可能的值）　　讲解：根据三角形两边之和大于第三边这一要求，可构造出如图9-26的四面体，其体积为（／6）.图9-26　　说明：这是一个题设和结论都不确定的开放题．如何构造图形，关键是根据三角形知识确定

4、每个面上的三条棱．排除｛1，1，2｝可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面（三角形）在空间构成满足条件的一个四面体．若本题要求写出所有可能的值（提高开放度），则应考虑面ABC的三条棱分别取上述三种情形，并对其一一讨论，最后可得（／6），（／12），（／12）这三个结果．　　例2若数列｛ａｎ｝满足（ｎ－1）ａｎ＋1＝（ｎ＋1）（ａｎ－1），ａ２＝6,则ａｎ能否作为某个等差数列的前ｎ项的和?若能，请求出这个等差数列，若不能，说明理由．　　讲解：由（ｎ－1）ａｎ＋1＝（ｎ＋1）（ａｎ－1）易得　　ａ

5、１＝1，ａ３＝3×5，ａ４＝4×7，…，ａｎ＝ｎ（2ｎ－1）．　　由数学归纳法不难证得猜想是正确的．　　∴　ａｎ＝ｎ（2ｎ－1）　（ｎ∈Ｎ）．　　设数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为ａｎ，则ｂｎ＝ａｎ－ａｎ－1　　＝ｎ（2ｎ－1）－（ｎ－1）［2（ｎ－1）－1］＝4ｎ－3　（ｎ≥2）．　　∴　ｂｎ＝4ｎ－3，对ｎ＝1也成立，显然｛ｂｎ｝为等差数列．　　∴　ａｎ可作为某个等差数列的前ｎ项的和，这个等差数列的通项是ｂｎ＝4ｎ－3．　　说明：此题的原型为：已知（ｎ－1）ａｎ＋1＝（ｎ＋1）（ａｎ－1），求ａ１、ａ２、ａ３、ａ４，并猜想ａｎ

6、，进而证明猜想的正确性．这样的提法太陈旧，解法不具有思考性，现变化为本题后，其解法就具有一定的隐蔽性、开放性和综合性．在分析时，应抓住一阶递推关系这个重要条件，不难找出从具体到一般的探求及猜想的基本思路．　　此题还可以从等差数列的前ｎ项和的充要条件着手，设ａｎ＝ａｎ２＋ｂｎ（其中ａ、ｂ为待定常数），代入已知等式，得　　（ｎ－1）［ａ（ｎ＋1）２＋ｂ（ｎ＋1）］　　＝（ｎ＋1）（ａｎ２＋ｂｎ）．　　令ｎ＝1，得　　ａ＋ｂ－1＝0，　　　①　　又∵　ａ２＝4ａ＋2ｂ＝6，　　　②　　由①②得ａ＝2，ｂ＝－1，并代回原等式，易知

7、恒成立．　　∴　ａｎ＝2ｎ２－ｎ．以下过程略．　　例3　在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，侧棱ＰＡ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形.问底面的边BC上是否存在点E，（1）使∠ＰＥＤ＝90°；（2）使∠ＰＥＤ为锐角．证明你的结论．图9-27　讲解：（1）当AB≤（1／2）ＡＤ时，边BC上存在点E使∠ＰＥＤ＝90°；当ＡＢ＞（1／2）ＡＤ时，点E不存在，证明如下.　　以AD为直径作圆O，当ＡＢ≤（1／2）ＡＤ时，⊙Ｏ与BC有公共点，设为E，连AE，则∠ＡＥＤ＝90°，即ＤＥ⊥ＡＥ．∵　ＰＡ⊥底面ABCD，∴　ＡＥ是PE在底面ABCD

8、内的射影，∴　ＤＥ⊥ＰＥ，即∠ＰＥＤ＝90°．当ＡＢ＞（1／2）ＡＤ时，⊙Ｏ与BC无公共点，对BC边上任一点E，∠ＡＥＤ＜90°．若ＰＥ⊥ＤＥ，则必有DE⊥ＡＥ，即∠ＡＥＤ＝90°．∴　BC边上不存在使∠ＰＥＤ＝90°的点．　　（2）边BＣ上总存在点E，使∠ＰＥＤ为锐角，B点即是其中一