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1、Vol.12,No.4高等数学研究Jul.,2009STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS121数学史3从历史的角度引入柯西-黎曼方程12李跃武周瑞宏12(合作民族师范高等专科学校数学系甘肃合作747000;西北大学数学与科学史研究中心西安710127)摘要通过对欧拉和黎曼两人获得柯西-黎曼方程的历史过程进行比较,可以发现,欧拉所采取的途径对复分析的引导更加自然.关键词复分析;柯西-黎曼方程;数学史.中图分类号O113/117单复变函数理论是19世纪发展起来的最独特、最富有成果的数学创造之一.它曾被认为是科学中最和谐的理论之一,其思
2、想深刻地影响着二十世纪的数学.复变函数论以解析函数为研究对象,柯西-黎曼方程是复变函数论的重要内容,因为它深刻地揭示了解析函数在“结构”上的特征:解析函数的实部与虚部在区域D内可微且满足柯西-黎曼条件.法国数学家庞加莱有一句名言:预见数学之未来的正确方法是研究它的历史和现状.他认为,数学课程的内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序展现给读者.重现数学发现的历史,是使学生既能进行高效率的思考,又能比较容易接受,理解隐藏在形式主义背后的数学本质的有效途径.本文通过比较欧拉和黎曼通过不同途径获得柯西-黎曼方程的历史过程,分析哪一种方法对复分析课程来说是
3、个更好的引导.在欧拉之前,1752年,达朗贝尔在研究一个物体经过各向同性的、无重量理想流体的运动时已经得到后来称之为柯西-黎曼方程的结果(事实上,在柯西和黎曼的进一步研究之前,这个方程被称为达朗贝尔-欧拉方程),但他的注意力显然只放在其流体阻力计算方面,并没有将其与复变函数的基础联系起来(当时建立单复变函数理论的条件还不成熟).欧拉于1776年到1783年间开始关注如何利用复函数去计算实积分的值.欧拉已经意识到,如果f(z)=M+iN,z=x+iy,其中M、N为实函数,那么它对于z=x-iy就具有形式M-iN.欧拉认为这是复数的基本性质,而他正是利
4、用这个断言去求实积分.假设∫f(Z)dz=V,(1)其中Z是实的.如果令Z=x+iy,则V=P+iQ,这里P、Q是x、y的二元实函数.于是有p+iQ=∫(M+iN)(sx+idy),(2)上式中的M+iN是f(z)的复形式.根据他的断言,p-iQ=∫(M-iN)(dx-idy),(3)由复数性质可得3收稿日期:2007-11-07.基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771169).122高等数学研究2009年7月p=∫Mdx-Ndy,Q=∫Ndx+Mdy.(4)由上式dp=Mdx-Ndy,dQ=Ndx+Mdy,(5)显然Mdx-Ndy与Ndx
5、+Mdy分别是P与Q的恰当微分,则有9M9N9N9M=-,=.(6)9y9x9y9x同样有9p9Q9P9Q=,=.(7)9y9x9x9y欧拉强调了一个复函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程.接着,欧拉将(1)中的z=x+iy换为z=r(cosθ+isinθ),并保持θ不变.这是沿复平面上过原点的一条射线积分,然后他用他的方法去求一些积分的值.1851年,黎曼在高斯的指导下提交了博士论文《单复变量函数一般理论基础》,这是复变函数论的一篇基本论文.正是在这篇论文中黎曼通过复变函数导数的定义,建立起复变函数论的基础.黎曼首先区别了实函数和复变函数:函数的定
6、义“每个自变量z对应于w的一个确定的值”虽然可同时应用于实和复的情形,但黎曼第一个认识到对复变函数w=u+iv,z=x+iy,导数的比Δw值的极限依赖于Δz趋近于0的方式,这和实函数有很大的不同.因此黎曼决定将导数的存在性Δzdw作为复变函数的基础:当的值与dz的值无关时,称w为复变量z的函数.dz黎曼推导柯西-黎曼方程所用的方法正与他的复函数的定义有关:设w=u+iv,z=x+iy,u和v是x,y的二元函数则9u9u9v9vdx+dy+idx+dydwdu+idv9x9y9y9y===dzdx+idydx+dy9u9v9v9u+idx+-iidy
7、9x9x9y9y.dx+idy这个值与dz趋近于0的方式无关,令dx和dy依次为0得dw9v9u9u9v=-i=+i.dz9y9y9x9x后两式实部和复部相等便得到柯西-黎曼方程:9u9v9u9v=,=-.9x9y9y9x从柯西-黎曼方程容易看出u和v满足二维位势方程(拉普拉斯方程):z29w9w2+2=0.9x9y[1]这样,柯西-黎曼方程与拉普拉斯方程成为解析函数的固有特征.从欧拉和黎曼得出柯西-黎曼方程的不同途径我们可以清楚地看到,欧拉当时的出发点是把实积分转换为复积分来计算实积分的值,虽然他也强调了复函数(当时还没有解析函数的概念)的实部和
8、虚部必须满足柯西-黎曼方程,但他没有意识到从这个重要结论出发可以建立起复变函数理论的基础,而这恰恰符合当时数学发展的历史.
