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1、第六章微分中值定理及其应用首页ק1拉格朗日定理和函数的单调性§2柯西中值定理和不定式极限§3泰勒公式§4函数的极值与最大（小）值本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备定理——罗尔定理,并用此讨论函数的单调性.首页×在这一章里,我们要讨论怎样由导数的已知性质来推断函数所应具有的性质.微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）正是进行这一讨论的有效工具.在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一水平切线（图6-1）.首页×一、罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1（罗尔（Rol
2、le）中值定理）若函数满足如下条件：（ⅰ）在闭区间[a,b]上连续；（ⅱ）在开区间（a,b）内可导；（ⅲ）,则在内(a,b)至少存在一点,使得（1）.罗尔定理的几何意义是说：不满足三个条件中的任何一个,首页×注1Rolle定理的三个条件只是充分条件，不是必要条件，这三个条件不完全满足时，结论也有可能成立.例如,函数但不满足条件⑵，无水平切线(图6-2-(b))；(c)y=xy=
3、x
4、y=f(x)..首页×注2Rolle定理的三个条件都是很重要的，缺了其中一个，结论就可能不成立.例如函数不满足条件⑶，无水平切线(图6
5、-2-(a))函数函数不满足条件⑴，无水平切线(图6-2-(c)).图6-2(a)(b)但它满足定理的三个条件，有水平切线(图6-2-(d))yy=f(x)0x首页×注3可能有同学会问，为什么不将条件(i)(ii)合并为f(x)在[a,b]上可导？可以.但条件加强了，就排斥了许多仅满足三个条件的函数.例如函数，则显然x=0时，函数不可导（切线∥y轴），即不符合加强条件；例如在[-1,1]上满足Rolle定理的三个条件.在(-1,1)内存在无限多个使得首页×注4罗尔定理结论中的值不一定唯一,可能有一个,几个甚至无限多
6、个.倘若有两个实根和（不妨设），则函数在上满足罗尔定理三个条件，从而存在，使，这与的假设相矛盾，命题得证.这可反证如下：如果去掉第三个条件，Rolle定理的结论会发生什么变化？Lagrange给出了回答.首页×设为R上可导函数，证明：若方程没有实根，则方程至多只有一个实根。作为罗尔定理的简单应用，请看下面的例子。例1证(问)Rolle定理的条件(i)(ii)很重要且具有一般性，但条件(iii)比较苛刻，函数一般不满足它，从而限制了定理的应用.定理6.2表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形。首页×（拉格朗日（La
7、grange）中值定理）若函数满足如下条件：（ⅰ）在闭区间上连续；（ⅱ）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得(2)显然，特别当时，本定理的结论（2）即为罗尔定理的结论（1）。定理是说，若平面上一条以 、 为端点的连续曲线 在内处处有不平行于y轴的切线，使得曲线在该点的切线平行于弦AB，即平行于两个端点与的连线（图6-3-(a)）yy=f(x)首页×(析)为了找出证明思路，我们也先从几何上看Lagrange定理的意义：(2)式右端是弦AB的斜率.则在开区间内部必至少有一点，只需将“曲线高度-弦的高度”即
8、可满足，因此关键是求弦的方程.则曲线段F(x)必有水平弦.首页×如果在Lagrange中值定理中增加函数在两端点值相等的条件，则结论正是Rolle中值定理的结论.可见，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特例，这又是一个先处理特殊后处理一般情形的例子.因而定理6.2证明的思路就是将Lagrange中值定理转化到Rolle中值定理上去以获得证明，使用Rolle定理的关键是其条件(3)——弦AB∥x轴.即现在的问题是：如何实现这个转化？即如何将Lagrange中值定理中的斜弦转化为Rolle中值定理中的水平弦
9、？取点A，由点斜式知，弦AB的方程为：现在可以构造一个函数：F(x)=曲线高度-弦的高度=f(x)–y，注1事实上,这个辅助函数的引入相当于坐标系统沿原点在平面内的旋转,使在新坐标下,连线AB平行于新x轴.首页×拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，之差（如图6-3所示）.我们在证明中引入的辅助函数 ，正是曲线与直线首页×注2定理6.2的结论（公式（2））称为拉格朗日公式。拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式，供读者在不同的场合选用：使得不
10、论a,b为何值，总可为小于1的某一正数。首页×值得注意的是，拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于a与b之间的某一定数，而（4）、（5）两式的特点，在于把中值点表示成了，②证明采用了构造函数的方法，类似于几何问题证明中辅助线，构造函数的方法是数学分析证明中常采取的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁沟通作用，多利用已知的函数来进行构造.也类似于几何
