ch6-1 拉格朗日定理和函数的单调性ppt课件.ppt

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1、§1拉格朗日定理和函数的单调性§2柯西中值定理及不定式极限§3泰勒公式§4函数的极值与最值§5函数的凸性与拐点§6函数图象的讨论第六章微分中值定理及其应用1拉格朗日(LagrangeJosephLouis)（1736-1814）法国数学家、力学家及天文学家。只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程

2、理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题［木星的四个卫星的运动问题］而再度获奖。写了继牛顿后又一重要经典力学着作《分析力学》［1788］。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。数学界近百多年来的许多成就都可直接或简接地追溯于拉格朗日的工作。为此他于数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。拉格朗日被称为数学界的贝多芬。2达布达布(Darboux),（1842-1917）法国数学家.Darboux的主要贡献在数学分析，微分几何，微分方程等领域。在数学分析方面，他给出了一个“病态函数”，

3、当自变量x=a变到x=b时，这个函数取遍了两个给定值之间的一切中间值，但却是不连续的。这使人们对连续的概念有了更深入的理解，因为当时对“连续性”还没有给出严格定义。在定积分理论中，有以他的名字命名的“Darboux和”，上积分，下积分等概念。他的工作对Riemann积分论的发展起到了重要作用。在微分几何方面的两本专著：《曲面通论教程》（1887-1896）和《正交系与曲线坐标》(1898).书中系统地介绍了近百年来微分几何学方面的成就，其中包括了很多他自己的研究成果。在微分方程方面，他研究了微分方程的可积性及积分法等问题。总结了Laplace

4、级数方法，并应用于所有二阶偏微分方程，还深入地研究了非线性方程的Monge方法，建立了Darboux方程。此外他在解析函数论，代数函数以及数学物理方程等方面都取得了重要成果。1870年他创办了《数理科学通报》。3一Rolle中值定理和Lagrange中值定理微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.其核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西定理是拉格朗日中值定理的推广。预备定理——费马(Fermat)定理§1拉格朗日定理和函数的单调性4几何解释:罗尔(Rolle)定理定理6.15证

5、:6注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,例如,xy-110注2:罗尔定理的条件仅是充分的，不是必要的.7例1证：8拉格朗日(Lagrange)中值定理定理6.29几何解释:分析:弦AB方程为10作辅助函数拉格朗日中值公式注1:拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.注2:拉格朗日公式当b

6、用于求分段函数的导数.证:例417若在区间（a,b)上单调增加若在区间（a,b)上单调减少二单调函数18定理6.3证:19例5解:定理6.4如何证明?20推论21单调区间的求法：1、单调区间的定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．2、单调区间的划分22例6解:23例7证:24例8证:25定理6.5(达布定理Darboux)证:26达布定理也称为导函数的介值定理.27小结1.罗尔(Rolle)中值定理2.拉格朗日(Lagrange)中值定理及推论.3.函数单调性

7、的判定方法.4.利用函数的单调性证明不等式.作业：P.127:2(1)、4、56(2)(4)、7(2)(3）28补充练习29例7解:单调区间为:30