几类常见函数值域求法

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1、例析几类函数的值域问题函数的值域或最值问题是高中数学的重点，也是难点。下述几类值域问题，是出现频率较高，且极易出错的类型。现评述如下，希望对同学们有所帮助。一、二次函数在闭区间上的值域问题二次函数在闭区间上的值域问题，常见的有三种类型，（1）“轴定区间定”型，（2）“轴动区间定”型，（3）“轴定区间动”型。这三种类型都是根据对称轴和区间的位置关系，来确定函数的值域。第（2）、（3）种类型，可按闭区间将数轴分成三个部分来分类，对称轴在区间内，在区间左侧或右侧，只要对这三种情况讨论，就可确定函数的值域。例1、（1）已知，求其值域。（2）已知，求其值域。（3）已知，求其值域。解：（1）易得值域

2、为。解：（2）对称轴为(ⅰ)当时，在上为增函数，易得值域为(ⅱ)当时，，若，若，则。即当时，值域为当时，值域为。（ⅲ）当时，在上为减函数，，值域为综上所述：当时值域为；当时，值域为；当时，值域为；当时值域为。解：（3），对称轴为(ⅰ)当即时，在上为增函数，值域为(ⅱ)当即时，若则；若则即当时，值域为当时，值域为(ⅲ)当即时，在上为减函数，值域为综上所述:当时,值域为;当时，值域为;当时，值域为;当时,值域为二、形如的函数值域问题由于函数的图像形如“对勾反对勾”，因此把它叫“对勾反对勾”型函数。它在区间和上单调递增，在区间和上单调递减。在求其值域时，可用其单调性来解决。例2、（1）求的值域

3、。（2）求的值域。（3）求的值域。解：（1）易得其在时取得最小值。时，值域为解：（2）在上为增函数，值域为解：（3）在时取得最小值，（ⅰ）当即时在上为增函数，故值域为（ⅱ）当即时在时取得最小值，其最大值在或处取得。令则故当时，值域为当时，值域为（ⅲ）当即时在为减函数，值域为综上所述：当时，值域为；当时，值域为当时，值域为；当时，值域为。三、形如（、不同为0）的函数的值域形如（、不同为0）的函数，若恒成立，可将其转化为关于的二次方程，用判别时法来求值域。用此方法时，需注意项的系数为0的情况下的值。另外，这种形式的函数，也可以用均值不等式来求值域。方法是：在分子、分母中凑次数较低的一方，再变

4、形成可用均值不等式的形式。例3、求函数的值域。解法一：由原式得：当时，由则当时函数有意义且在内，因此，函数的值域为解法二：由原函数得：（ⅰ）当时，（ⅱ）当时（当且仅当时取等号）且此时（ⅲ）当时（当且仅当时取等号）且此时综上所述:原函数的值域为。说明：当按的情况分类去求函数的值域时，要注意所求得的值域，应为这几种情况的并集。这是常被同学们忽视的地方。