strongart数学笔记：论数学中的发现与发明

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1、论数学中的发现与发明你发现，所以我发现；我发明，所以你发明。——Strongart发现与发明的争论可以说是数学哲学中的一个经典问题：数学对象到底是事先存在（哪怕是柏拉图意义上的虚拟存在），然后被数学家发现出来，还是本质上就是人为的产物，纯粹就是数学家的发明呢？对此很多数学家都争论不休，下面Strongart教授就来谈谈自己的观点。朴素的来看，在一般比较初等的数学中，基本上就是以发现为主，像自然数、几何图形都是天然存在的，剩下来的只是发现其中的性质而已。可到了高层次的数学，数学就会变得越来越抽象而带有人工的意味，数学探索也进入到一个更自由的境地，也就更多的属于数学家的发明。这

2、样一来，绝大多数普通数学爱好者与物理计算型的数学家都倾向于发现，但哲学思想型的数学家则倾向于发明，这主要是因为他们心目中的数学对象是不同的。从整体来看的话，数学就是由发现走向发明的一个历程，广泛的群众数学家会争辩说发现贯穿着数学的发展历程，即便是在高层次的数学中也是必不可少的；但少数精英数学家则不屑的答复到发明代表着数学的先进方向，在数学发展中起到了画龙点睛的作用。尽管从整体上来看，数学是发现走向发明，但局部上却常常是由发明走向发现。一般是先由某个精英数学家发明一个新的数学对象，然后再由群众数学家发现这个概念的若干性质，比如抽象代数中的群（group）这个概念的诞生就是典型

3、的发明，但此后的群论研究基本上就属于发现的领域了，比如说发现一个高阶的有限单群。但对于群的一些推广，假若是相对比较平凡的，那也是倾向于认为这就是发现，可若是存在着非平凡因素，又会被认为属于发明。可这里的是否平凡，似乎是很难得到断定的，假若在群出现的时候有人提出群胚（groupoid）的概念，想必不会受到太多重视，因为那时的数学家还正在被群的对称性吸引着，但现在群胚的概念已经成为了非交换空间理论中不可缺少的基础概念了。这里的本质差别在什么地方呢？我想，主要是看有没有一个背景框架的存在。假若这个背景框架已经存在了，那么剩下来就是在框架里面发现；可若是没有这样的背景框架，那么就必

4、须由数学家自己来发明这个框架。在群与群胚的例子中，群胚的早期发明似乎依赖于群这个背景框架，即便是当初由数学家独立提出的，也很容易被解释为群的推广，认为是群这个概念的启发下才发现的。这是因为那个时候群这个概念刚得到重视，正处于备受关注的焦点状态，很容易就吸引一些同类概念。可当群胚的性质被充分发展之后，就逐渐变得了独立于群的存在，因此也就不再从属于群的框架了，因此它也就不知不觉的取得了发明的身份。实际上，在数学乃至整个科学领域，我们都有一个最大框架，那就是所谓的现实世界。比较初级的数学直接脱胎于现实世界，因此它们基本上就是发现的领域，数学家只要接受上帝的恩赐就行，完全没有必要再

5、画蛇添足的发明一个与自然数同构的新数。物理学等科学领域就更是以自然界为圭臬，因此人们一般都认为物理学的定律就是纯粹的发现，只要不进入到现实的应用技术领域，就几乎不存在发现与发明之间的争论。即便是到了一些高级的数学领域，假若我们的群众数学家没有打破框架的能力，只是在既成的框架下计算研究的话，也会倾向于认为数学命题就是被发现的，只有那些能够自己创建新的背景框架的精英数学家，才会更坚定认为数学理论就是人类头脑的发明。这一点可能是与人的操作能力有关，缺乏操作能力的被动等待就只能是发现，而有操作能力的主动出击就可以说是发明了。现在人类还没有办法改变现有的生命形态，一般都说是发现了一些

6、新的物种，但要是有一天我们能够通过基因操作之类的技术自由的创造新的生命体，那很可能把它们当成自己的发明，甚至说自然界原来的生物也看都不过是上帝的发明。当然啦，这个背景框架在一定意义上是人为的约定，真心要找背景的话，终究还是能够找到的，只不过它的作用会随着距离的增加而越来越小，也就是我们完全可以说一切数学都是被发现的，只不过这样的说法有点庸俗，就好像说所有的人都是动物一样，并没有能够表现出数学最为本质的一面。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，

7、至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strongart，欢迎访问Strongart的新浪博客。