strongart数学笔记：如何读数学书，如何自学数学

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1、浅谈定义、命题、定理与推论的学习今天来讲讲如何读数学书的问题，一般数学书总是通过定义（definition）、命题（proposition）、定理（theorem）、推论（corollary）等等展开其基本内容，下面我就分别对它们做一个阐述。先来看定义，这是数学中最基础的部分，如果连定义弄不明白的话，那说明那本书你暂时还看不了。但不要因为好像很容易，就把定义一带而过，要思考一下这个定义动机的什么，然后举一些简单的例子。很多书上在定义后面都会附带几个例子，一般而言总是要比你举的例子典型一些，这时你就可以品味一下其中的味道。假若不幸你举的例子比书上典型，可能是你对此领域非常有天赋

2、，但也可能是这本书的质量太差了，这是可以考虑更换一些高级著作。定义之后就是命题与定理，它们是区分与自身的重要性和证明的复杂性有关，这里并没有什么绝对的标准。这里我把证明简明短小的结论称为小命题，而把证明复杂冗长的结论称为大定理，这和书上所标注的情况有所出入。书上的有些结论可能原先证明比较麻烦，后来引入先进工具之后证明得到简化，但是由于历史原因，我们依然称其为定理；而一些结论的证明比较复杂，却只是重要结论的一个前提铺垫，也就只能被称为命题，假若这样的复杂结论偏离主线的话，那么更加适合的称呼则是引理（lemma）。对于那些小命题的证明，一般我们在阅读时是容易掌握的，特别是那些比较

3、不乏机智的小证明，非常值得细细品味。充分理解小命题的证明，对于研究大定理的证明，将是非常关键的。对于初学者而言，大定理的证明并非一定要读透，假若你觉得自己有能力把它消化掉，那自然是最好不过的了。但是，这些大定理往往是数学家长时间的研究成果（不用自卑，如果你自己在研究的话，你同样有那么多时间专门考虑那个问题），因此很可能导致初学者消化不良，最方便的办法莫过于记住结论之后，转而研究相应的注记（remark）或评论（comment）。假若实在要研读证明的话，最好不要像编辑那样就是从头到尾的核对（check），这样除了知道它正确之外，很少能得到额外的收获。你应该尝试把定理拆解成若干命

4、题，然后对解决命题那样一一击破，看看还能不能得到一些额外的收获。如果暂时做不到这一点，那说明你可能不适合读这个证明。最后，你可以考虑一下有什么重要的特例，其中的条件是不是可以弱化，条件强化后有没有新的结论。如果有了什么收获，不妨自己来写上几条评论，写一点东西对提高自信心总是大有帮助的。严格的说，推论并不是一个单独的命题或者定理，最好不是借助定理把推论证明出来，而是要从定理中把推论给看出来。如果你能够把从定义得到命题、然后又从定理中看出推论的话，那么即使在定理的证明中有一些细节没吃透，也基本上可以说是学有小成了。如何理解高度抽象的数学概念昨天录完讲范畴部分的讲座，发现像cate

5、gory、scheme这些高度抽象的数学概念是不容易讲清楚的，既然不容易讲得清楚，想必学习的时候也会遇到一些困难。下面我来帮大家减轻一点负担，告诉大家几个破解此类抽象概念的秘诀。秘诀一：体会Motivation.要问一下为什么要有这样的概念，这样你可以得到一些处理这类概念的线索，不至于愣头愣脑的撞进去。就category而言，它的Motivation主要有两个，一是避免集合论悖论，比如所有的群不构成集合，但说成GroupCategory就没问题了；二是可有同时刻画“点”与“射”，抽象之后得到object与morphism.秘诀二：分清Level.其实，这对于理解所有的概念都适

6、用，不然头脑中就就可能变得乱糟糟一团。然而，对于一些简单的概念，大脑可以自动完成了这个工作，若是概念比较复杂，那么就得有意品味才能理解得清晰深刻。以scheme为例，ring→spectrum→ringedspace（sheaf）→affinescheme→scheme这条线索是非常适用的。秘诀三：寻找Model.要理解高度抽象的概念，找一些example是非常必要的，但更加受用则是Model.如果一个example是我们所熟知的，既能够体现概念的主题（非平凡），又没有繁杂的枝节干扰，那么它就可以作为一个理想的Model.比如对于category而言，不涉及对偶是可以用Set

7、Category作为Model，涉及对偶的话不妨升级用GroupCategory.此外，Model并不限于example，也包括一些平行概念，比如理解scheme时不妨用manifold作为Model.秘诀四：留意Application.高度抽象的概念往往是自包含的，需要一定推论转化后才能使用，假若对此不加注意，那么就算是理解了一点也是死水一潭。即使后面专门学了应用，弄不好也是前后脱节，有用的找不到道理，有道理的发挥不了用处。就category而言，它的一个应用是morphism的去对象化，也就是说讨论