质数和算术基本定理

《质数和算术基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、学院学术论文题目:质数和算术基本定理学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：【摘要】质数是数论研究的核心，许多中外闻名的题目都与素数有关。除1外任何正整数不是质数即是合数。判断一个已知的正整数是否是质数可用判别定理去实现。判别定理又是证明素数无穷的关键。1既不是质数也不是和数。1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。算术基本定理是整数理论中最重要的定理之一，既任何整数一定能分解成一些素数的乘积，而且分法是唯一的，不是任何数集都能满足算术基本定理的，算术基本定理为我们提供了解决其他问题的理论

2、保障。【关键词】质数；算术基本定理；费马数；一质数的定义：指在一个大于1的整数中，如果它的正因数只有1及它本身，就叫作质数（或素数）；否则就叫作合数。依据定义得公式：　　设A=2n+b=(n-x)(n+y),除n-x=1以外无正整数。故有：　　y=（b+nx)/(n-x)(x

3、89,97（共25个）二定理的应用:1.素数的个数无限多（不存在最大的素数）证法一：（一）学过初中的同学都知道n!与n!+1互质。故n!与1、2、3、…..n-1、n互质那么n!+1有2种可能（1）n!+1为素数。(2)n!+1为合数（1）设a=n!+1为素数集合A={x

4、0

5、0

6、x∈BA且a/x=hh∈N}为素数。同（1）设集合A内有b个素数。则集合B内至

7、少有b+1个素数综合（1）、（2）可得：设集合A={x

8、0

9、0

10、o

11、0

12、o

13、是p设q为所有素数之积加上1，那么，q=（2*3*5*……*p）+1不是素数那么，q可以被2、3、……、p中的数整除而q被这2、3、……、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾所以，素数是无限的。（也可以这样说明：若q能被小于q的数整除，情况有两种，被小于q的素数或被小于q的合数。小于q的素数也就包括在2，3，5，……p中，明显不能被他们整除；如果能被小于q的合数m整除，合数m又可以分为两个更小的素数相乘，设m=s*t，则s

14、盾。）  证法三：假设素数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1,p2,...,pn，则x=(p1·p2·...·pn)+1显然是不能被p1,p2,...,pn中的任何一个素数整除的，因此x也是一个素数，这和只有n个素数矛盾，所以素数是无限多的。这个证明的最早来自亚里士多德，非常漂亮，是反证法的经典应用，这个证明被欧拉称为“直接来自上帝的证明”，历代的数学家也对其评价很高。但是，千万不可认为，形如p1·p2·...·pn+1（其中p1,p2,...,pn均为素数）的数就一定是素数！第八届全国青少年信息学奥林匹克联赛（NOIP2

15、002)提高组初赛试题第三题第2小题，写程序运行结果，程序要找的就是形如p1·p2·...·pn+1（其中p1,p2,...,pn均为素数）的数中第一个是合数的整数。2*3+1=7是素数2*3*5+1=31是素数2*3*5*7+1=211是素数2*3*5*7*11+1=2311是素数2*3*5*7*11*13+1=30031不是素数，因为30031=59*5092.存在任意长的一段连续数，其中的所有数都是合数（相邻素数之间的间隔任意大） 证明：当0

16、,...,n!+n中，所有的数都是合数。这个结论对所有大于1的整数n都成立，而n可以取到任意大。3.所有大于2的素数都可以唯一地表示成两个平方数之差。证明：大于2的素数都是奇数。假设这个数是2n+1。由于(n+1)^2=n^2+2n+1，(n+1)^2和n^2就是我们要找的两