素数与算术基本定理.ppt

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1、素数定义1设若的正因数只有和它本身,则称为素数,否则称为合数.正整数素数合数唯一的偶素数算术基本定理素数与合数的基本性质设是合数,则1)存在整数使得2)存在素数使得且例如,判定是否为素数.所以是素数.合数必有素因子素数与合数的基本性质设是素数,则1)对任意整数有2)若则或或例1设是素数,求的所有可能值.解设则定理1素数有无穷多.证假定素数有有限多个,设是全体素数.令设是的素因数,则这是因为若就有是素数矛盾.这与推论设是第个素数,则厄拉多塞(Eratosthenes)筛法求不超过的全体素数:首先列出不超过的所有素数.设为依次排列在其中留下划去

2、的所有倍数,再留下把的倍数划掉,继续这一手续,直到最后留下而划去的所有倍数.求以内的全部素数素数的分布1)随着整数范围的扩大，素数是不是越来越稀疏？稀疏的程度是否单调地增加？3）间隔差为2的素数对是否有无穷多个?更一般地,间隔差为某一个固定偶数的素数对是否有无穷多个?是否存在相邻的素数,其间隔值可以任意大?2）相邻素数之间的间隔值有哪些?它们各重复多少次?随整数范围扩大,最大间隔值是否也随之增大?1-n的区间素数个数π(n)π(n)/n

3、超过实数的素数的个数.所以Gauss,1792Legendre,1798素数定理Hadamard,delaValléePoussin,1896年.A.Selberg,P.Erdös,1949年.Erdös1913-1996Hadamard1865-1963Poussin1866-1962Selberg1917-2007有没有公式可以比素数定理更精确地描述素数的分布呢？算术级数中的素数对任意正整数存在连续的个正整数,它们都是合数.证考虑个正整数则算术级数中的素数(Dirichlet,1837)若正整数互素,则存在无穷多形如的素数.存在长度为如

4、Green-Tao定理是否存在任意长度相邻素数的等差数列?陶哲轩1975-等差为素数列有关素数的猜想1)每个不小于6的偶数都可以表为两个奇素数之和;2)每个不小于9的奇数可以表为三个奇素数之和.哥德巴赫(Goldbach)猜想(1742年)1937，苏联数学家Vinogradov证明，充分大的奇数可以表为三个素数的和.1900年，Hilbert在巴黎世界数学家大会上提出23个问题供20世纪数学家研究。其中第8问题中将Goldbach猜想作为最重要的问题之一提出.英国伦敦Faber出版社2000年3月悬赏100万美金征解Goldbach猜想.

5、1938年，华罗庚证明：几乎所有大于6的偶数均可表示成两个奇素数之和.1966陈景润证明(1+2)1958王元证明(2+3)1962潘承洞证明(1+5)1963王元、潘承洞证明(1+4)1965Vinogradov证明(1+3)目前计算结果表明,在之前的偶数都满足哥德巴赫猜想.IfyoucouldbetheDevilandofferamathematicianIthinkitwouldbetheRiemannHypothesis.tosellhissoulfortheproofofonetheorem-whattheoremwouldmos

6、tmathematiciansaskfor?-H.MontgomeryRiemann1826-1866Riemann猜想（RH）Riemann1859年“论不大于一个给定值的素数的个数”2005年5月24日,Clay数学研究所将黎曼猜想作为七个千禧年数学难题之一公开悬赏征解.Euler乘积公式Riemann函数令对函数在复平面作解析延拓,有都是的平凡零点.Riemann猜想的所有非平凡零点都位于复平面上的直线上.Riemann素数公式Mertens猜想A.M.Odlyzko等,1984年证明对所有实数有RH对任意正数Mertens函数反例若

7、是代数数,是无理代数数,则是超越数.猜想猜想1935年Fermat猜想Riemann猜想1995年?（Hilbert第7问题）孪生素数猜想（Twinprimeconjecture）是否存在无限多素数对如2013年5月，YitangZhang证明张益唐1955-2013年7月，Engelsma证明Theconjecture形如的素数有无限多.任给正整数在和之间是否一定存在素数?素数的判定是素数Fermat判别法基于广义黎曼猜想的判别表示素数的公式Miller,1947存在使得都是素数.Euler,1772设则时,都是素数.Hardy,1979

8、其中且Ruiz,2000其中任给正整数不存在整系数多项式使得都是素数.取所有的整数时算术基本定理定理2设则其中是素数,且若是素数,其中则注对其它类型的数,唯一分解定理未必成立.如