算术基本定理.ppt

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1、算术基本定理人教A版数学选修4-6《初等数论》宁波市鄞州中学陈军杰第一章整数的整除整除性理论是初等数论的基础.本章已经学习了整除、带余数除法、素数及其判别法、最大公约数、最小公倍数等知识.问题1：请将数60与720表示成一些素因数的乘积.结论：任何大于1的整数总可以表示成素因数乘积的形式.即任给大于1整数n，总有n=p1p2pm，(1)其中pi（1im）是素数.第六节算术基本定理引理1任何大于1的正整数n可以写成素数之积，即n=p1p2pm，(1)其中pi（1im）是素数。证明当n=2时，结论显然

2、成立。假设对于2nk，式(1)成立，我们来证明式(1)对于n=k1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。第六节算术基本定理如果k1是素数，式(1)显然成立。如果k1是合数，则存在素数p与整数d，使得k1=pd。由于2dk，由归纳假定知存在素数q1,q2,,ql，使得d=q1q2ql，从而k1=pq1q2ql。证毕。第六节算术基本定理定理1(算术基本定理)任何大于1的整数n可以唯一地表示成，(2)其中p1,p2,,pk是素数，p1

3、k是正整数。证明由引理1，任何大于1的整数n可以表示成式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯一性。第六节算术基本定理假设pi（1ik）与qj（1jl）都是素数，p1p2pk，q1q2ql，(3)并且n=p1p2pk=q1q2ql，(4)则由第三节定理4推论1，必有某个qj（1jl），使得p1qj，所以p1=qj；又有某个pi（1ik），使得q1pi，所以q1=pi。第六节算术基本定理于是，由式(3)可知p1=q1，从而由式(4)得到p2pk=q2ql。重复上

4、述这一过程，得到k=l，pi=qi，1ik。证毕。第六节算术基本定理定义1使用定理1中的记号，称是n的标准分解式,其中pi（1ik）是素数,p1

5、l)与ri(1is)是两两不相同的素数，i，i(1ik)，i(1il)与i(1is)都是非负整数，则第六节算术基本定理(a,b)=，i=min{i,i}，1ik，[a,b]=，i=max{i,i}，1ik。第六节算术基本定理推论2设正整数a与b的标准分解式是其中p1,p2,,pk是互不相同的素数，i，i（1ik）都是非负整数，则第六节算术基本定理推论3设a，b，c，n是正整数，ab=cn，(a,b)=1，(5)则存在正整数u，v，使得a=un，b=vn

6、，c=uv，(u,v)=1。证明设，其中p1,p2,,pk是互不相同的素数，i（1ik）是正整数。第六节算术基本定理又设其中i，i（1ik）都是非负整数。由式(5)及推论2可知min{i,i}=0，ii=ni，1ik，因此，对于每个i（1ik），等式i=ni，i=0与i=0，i=ni有且只有一个成立.这就证明了推论.证毕.第六节算术基本定理例1写出51480的标准分解式。解我们有51480=225740=2212870=236435=2351287=

7、2353429=23532143=233251113.第六节算术基本定理例2设a，b，c是整数，证明：(ⅰ)(a,b)[a,b]=ab；(ⅱ)(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)]。证明为了叙述方便，不妨假定a，b，c是正整数。(ⅰ)设第六节算术基本定理其中p1,p2,,pk是互不相同的素数,i，i(1ik)都是非负整数。由定理1推论2，有由此知第六节算术基本定理(ⅱ)设其中p1,p2,,pk是互不相同的素数,i，i，i(1ik)都是非负整数.由定理1推论2

8、,有其中，对于1ik，有i=min{i,max{i,i}}，第六节算术基本定理i=max{min{i,i},min{i,i}}，不妨设ii，则min{i,i}min{i,i}，所以i=min{i,i}=i，即(a,[b,c])=[(a,b),(a,c)]。注：利用定理1可以容易地处理许多像例2这样的问题。第六节算术基本定理例3证明：（n2）不是整数。