1.2.1充分条件与必要条件

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1、1.2.1　充分条件与必要条件明目标、知重点　1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpD/⇒q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件探究点一　充分条件、必要条件思考1　判断下列两个命题的真假，并思考命题(1)中条件和结论之间的关系：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若

2、x

3、＝

4、1，则x＝1.答　(1)为真命题，(2)为假命题．命题(1)中，有x>a2＋b2，必有x>2ab，即x>a2＋b2⇒x>2ab，所以“x>a2＋b2”是“x>2ab”的充分条件，“x>2ab”是“x>a2＋b2”的必要条件．命题(2)中，

5、x

6、＝1，x＝1或－1.小结　一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．思考2　结合充分条件、必要条件的定义，说说你对充分条件与必要条件的理解．答　充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，当具备此条件

7、就可得此结论．或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了．必要条件可从命题等价性理解：p⇒q等价于綈q⇒綈p，q是p的必要条件意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件．思考3　判断命题“若x＝1，则

8、x

9、＝1”中条件和结论的关系，并请你从集合的角度来解释．答　“x＝1”是“

10、x

11、＝1”的充分条件，“

12、x

13、＝1”是“x＝1”的必要条件．两个条件“x＝1”和“

14、x

15、＝1”都是变量的取值，和集合有关．将“x＝1”对应集合记作A，“

16、x

17、＝1”对应集合记作B.显然A⊆B.思考4　结合以上分析，请你归纳判断充分条件，必要条件有哪些

18、方法？答　一般地，关于充分、必要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题”、“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p既是q的充分条件，又是q的必要条件．例1　下列“若p，则q”形式的命题中

19、，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；(2)若f(x)＝x，则f(x)为增函数；(3)若x为无理数，则x2为无理数；(4)若x＝y，则x2＝y2；(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(6)若a>b，则ac>bc.解　(1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件；(2)∵p⇒q，而qD/⇒p，∴p是q

20、的充分不必要条件．(3)∵pD/⇒q，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵p⇒q，而qD/⇒p，∴p是q的充分不必要条件．(5)∵p⇒q，而qD/⇒p，∴p是q的充分不必要条件．(6)∵pD/⇒q，而qD/⇒p，∴p是q的既不充分也不必要条件．反思与感悟　本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法．一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题．要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p.跟踪训练1　指出下列命题中，p是q的什么条

21、件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；(4)p：sinα>sinβ，q：α>β.解　(1)∵x2＝2x＋1D⇒/x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝成立，反过来，当x－1＝成立时，可以推出x＝1或x＝2，∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．(4)由sinα>sinβ不能推出α>β，反过来

22、由α>β也不能推出sinα>sinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．探究点二　充分条件、必要条件与集合的关系思考　设集合A＝{x

23、x满足条件p}，集合B＝{x

24、x满足条件q}，若A⊆B，则p是