18.圆锥曲线参数方程的应用

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1、高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题[母题]Ⅰ(18-18):圆锥曲线参数方程的应用(506)1289圆锥曲线参数方程的应用[母题]Ⅰ(18-18):(2009年安徽高考试题)已知点P(x0,y0)在椭圆=1(a>b>0)上,x0=acosβ,y0=bsinβ,0<β<.直线l2与直线l1:x+y=1垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为α,直线l1的倾斜角为γ.(Ⅰ)证明:点P是椭圆=1与直线l1的唯一交点;(Ⅱ)证明:tanα,tanβ,tanγ构成等比数列.[解析]:(Ⅰ)由x+y=1y=(a2-x0x)

2、,代入椭圆方程=1得:(+)x2-2x+(-1)=0,证该方程仅有一根有两种方法:①△=4[-(+)(-1)]=[-(1+)(-1)]=(1+-)(注意到=1)=[1+(1-)-]=0方程的根x=x0;②将代入方程得:x2-2axcosβ+a2cos2β=0x=acosβ=x0l1是椭圆在点P处的切线,根据椭圆的切线性质,P是椭圆与直线l1的唯一交点;(Ⅱ)tanα==tanβ,l1的斜率=-l2的斜率tanγ==tanβtanαtanγ=tan2β,由0<β

3、数是一个充满辩证思维的数学概念,在解析几何中,当参数变化时,参数可以刻画曲线的变化过程;当参数暂时视为常量时,参数可以表示曲线上的任意一点,以静制动,参数可以揭示问题中变量之间的内在联系,优化解题程序.[子题](1):(2000年全国高中数学联赛试题)已知C0:x2+y2=1和C1:(a>b>0).试问:当且仅当a,b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论.[解析]:由切线长定理易知,圆外切平行四边形是菱形;(必要性)若菱形的两个顶点是C1的长轴端点A1(-a,0),A2(a,0)时,由菱形的对角线互相垂直平分菱形的另两个顶

4、点必是C1的短轴端点B1(0,-b),B2(0,b)菱形其中一边A2B2方程:+=1;由A2B2与圆C0相切=1+=1;(充分性)若+=1,设A(rcosθ,rsinθ)是C1上任意一点,B(Rcos(θ+),Rsin(θ+))是C1上的另外一点,设点A、B关于原点O的对称点分别为C、D,则四边形ABCD是C1的内接菱形;由+=1,+=1+=+=(+)+(+)=+=1;又在ABO中,点O到AB的距离d满足:=+=1d=1菱形ABCD是C0的外切四边形.注:本题结论可推广到:椭圆G:(a>b>0)的所有内接菱形ABCD的内切于同一个圆:x2+y2=.1290[母题]Ⅰ(18-18):圆锥曲线

5、参数方程的应用(506)[子题](2):(2005年全国I高考试题)己知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与=(3,-1)共线.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且(λ,μ∈R),证明:λ2+μ2为定值.[解析]:(Ⅰ)设椭圆方程为=1(a>b>0),直线的方程为:y=x-c,A(x1,y1),B(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2),由与=(3,-1)共线(x1+x2)+3(y1+y2)=0x1+x2=c.又由(a2+b2)x2-2a2cx+a2(b2-c2)=0x1+x2==ca2=3b2e=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭

6、圆:x2+3y2=3b2x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2.设M(x,y),则由x=λx1+μx2,y=λy1+μy2(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)2+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b23b2(λ2+μ2)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2.又由(Ⅰ)知x1x2=c2y1y2=(x1-c)(x2-c)=x1x2-(x1+x2)c+c2=c2-c2+c2=-c2x1x2+3y1y2=0λ2+μ2=1为定值.注:本题结论可推广为:已知椭圆C:=1(a>b>0)上的点A、B满足:kOAkOB=-.椭

7、圆C上的动点P满足:=λ+μ,则λ2+μ2=1.[子题](3):yxOPAB(2011年全国高中数学联赛试题A)作斜率为的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点(如图所示),且P(3,)在直线l的左上方.(Ⅰ)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;(Ⅱ)若∠APB=600,求△PAB的面积.[解析]:(Ⅰ)设A(6cosα,2sinα),B(6cosβ,2sinβ),α,β∈(0,2π),α<β;由kAB==sinα-