平面问题的极坐标解答5

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1、第四章例题例题1（习题4-8）试考察应力函数能解决图中所示弹性体的何种受力问题？yxaa0解：本题应按逆解法求解。首先校核相容方程，是满足的。然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量：再求出边界上的面力：读者可由此画出边界上的面力分布。半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量。例题2（习题4-9）解：首先检验，已满足。由求应力，代入应力公式得再考察边界条件。注意本题有两个面,即，分别为面。在面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有代入公式，得应力解答，设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上

2、的力矩为M，试求应力分量。例题3（习题4-18）（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。解：应用半逆解法求解。（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设。删去因子，得一个关于的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于的特征方程，（3）将代入相容方程，得其解为于是得的四个解；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得本题中结构对称于的轴，而是反对称荷载，因此，应力应反对称于轴，为的奇函数，从而得（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶

3、作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。在的边界上，有（4）由求得应力分量，为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，前一式自然满足，而第二式成为(a)上式中前两式自然满足，而第三式成为再由式（a）得出代入应力公式，得最后的应力解答，(b)设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解，例题4（习题4-19）xy0F（1）经校核，上述满足相容方程。解：（2）代入应力公式，得（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力

4、F，可取出包含小孔口在内的、半径为的脱离体，列出其三个平衡条件：将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出(a)（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。由物理方程求出应变分量，代入几何方程，得由前两式积分，得将代入第三式，并分开变量，得为了使上式在区域内任意的都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，由式（b）解出(b)将式（c）对求导一次，再求出再将上式的代入，得显然，式（d

5、）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须(d)(e)将式（a）代入上式，得将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答。例题5解：由书中式（4-21），当时，用直角坐标系的应力分量表示，以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量，再代入几何方程，分别积分求出位移分量：第四章例题两边对积分，得得由几何方程第一式，由几何方程第二式，再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，分开变量后，

6、两边分别为的函数，各应等于同一常数G，即两边对积分，得于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为对式（c）的后一式再求一次导数，得将和代入的表达式；并由式（c）得得解为代入后，得出位移的解答如下，由反对称条件，当时，而另两个刚体位移分量H和K，因未有约束条件不能求出。代入，得最后的位移解，水平位移是在半平面体的左半表面，铅直沉陷是取B点为参考点，则M点的相对水平位移是圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。例题6解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出

7、。（a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用书中式（4-22）之解，（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出（c）对于圆周上的点M，分别作用且，并有显然，在圆周上有因此，圆盘在对径受压时，其应力解是(a),(b),(c)三部分解答之和。两者合成为圆周上的法向分布压力为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力其对应的应力分量为由于最大压应力发生在圆盘的中心，得到CD线上的应力分量现在来计算水平直径CD线上的值。对于N点，设则有读者试求出CD线和AB线上的水平正应力值，并证明在中心线AB上

8、，为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。第四章例题图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，在两端受有力矩M的作用，试求其应力。例题7解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可以引用轴对称应力解：在主要边界上，边界条件是由于，后两式自然满足，而其余两式为在两端部，或者