平面问题的极坐标解答

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1、第四章平面问题的极坐标解答本章将系统地平面问题极坐标解答的基本理论。主要内容如下：1、极坐标系下平面问题的基本方程；2、极坐标系下按应力求解的方法；3、极坐标系下典型问题的求解；本章学习指南为了牢固地掌握极坐标系下平面问题的基本理论，要求理解：1、极坐标系求解的适用对象；2、极坐标系下基本未知函数的表示方法及与直角坐标表示法的异同；3、极坐标系下基本方程和按应力求解方法，并比较与直角坐标系的基本方程和解法的异同；本章学习指南极坐标中的平衡微分方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的应力函数与相容方程应

2、力分量的坐标变换式轴对称应力和相应的位移圆环或圆筒受均布压力圆孔的孔口应力集中半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受分布力主要内容绪　　论采用极坐标系求解的优点：对于由由径向线或圆弧线所围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等弹性体，由于用极坐标表示其边界线非常方便，从而使得边界条件的表示和基本方程的求解得到很大的简化，宜用极坐标求解。极坐标系中任一点用径向坐标r和环向坐标f表示，与直角坐标系相比：相同点：均为正交坐标系；不同点：直角坐标系中两坐标线均为直线，有固定方向，量纲均为L；而极坐标系中径向坐标线为直

3、线，环向坐标线则为圆弧曲线，不同点有不同方向，量纲分别为L和一。上述区别会引起弹性力学基本方程的差异。绪　　论正负号规定：正坐标面上以沿正坐标方向为正，负向为负；负坐标面上以沿负坐标方向为正，正向为负；径向及环向的体力分量分别用fr和fj表示，以沿正坐标方向为正，负向为负。应力分量的定义：选取由两条径向线和两条环向线所围成的微分体PACB，厚度为1。沿r方向的正应力称为径向正应力，用sr表示；沿j方向的正应力称为环向正应力或切向正应力，用sj表示；切应力用trj及tjr表示§4.1极坐标中的平衡微分方程考

4、虑问题的基础知识：平面上的静力学知识分析问题方法：平面力系和力矩的平衡条件分析手段：微分单元体（微分）意义：平面区域内任一点的微分体的平衡条件极坐标中的平衡微分方程径向面PB和AC的面积不相同，分别为rdf×1和(r+dr)df×1，环向面PA和BC的面积均为dr×1，但两者不平行。与直角坐标中相似，利用级数展开，可求出各微面上的应力。力矩平衡条件：由通过中心点并平行于Z轴的直线为转轴，根据力矩的平衡条件，可推导出“切应力互等定理”，即极坐标中的平衡微分方程力系平衡条件：将微分体所受各力分别投影到微分体中

5、心的径向轴和环向轴上，可分别列出径向和环向的平面平衡方程，即平衡微分方程：注意事项列平衡条件时，应力和体力应分别乘以其作用面积和体积，才能得到合力；应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，这也是其适用的条件；平衡微分方程表示了平面区域内任一点的平衡条件平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同极坐标中的平衡微分方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的应力函数与相容方程应力分量的坐标变换式轴对称应力和相应的位移圆环或圆筒受均布压力圆孔的孔口应力集中半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受分布力主要

6、内容§4.2极坐标中的几何方程与物理方程极坐标系中的应变分量：径向线应变er：径向线段的线应变环向线应变ej：环向线段的线应变切应变grj：径向和环向两线段间直角的改变极坐标系中的位移分量：径向位移ur：径向方向的位移环向位移uj：环向方向的位移为了推导方便，先分别考虑只有径向位移和只有环向位移的情形，然后根据弹性力学的叠加原理，得到径向和环向位移都发生时极坐标系中的几何方程。极坐标中的几何方程首先，假定只有径向位移，图中P、A和B点的位移分别为：径向线段PA的线应变和转角分别为环向线段PB的线应变和转角

7、分别为切应变为极坐标中的几何方程其次，假定只有环向位移，图中P、A和B点的位移分别为：径向线段PA的线应变和转角分别为环向线段PB的线应变和转角分别为切应变为极坐标中的几何方程根据叠加原理，当同时发生径向和环向位移时，极坐标中的几何方程为上述两种情形结果的叠加：（4-2）应用了两个基本假设：连续性假设和小变形假设，这也是其适用的条件；极坐标中的物理方程由于本构方程是弹性体弹性参数的反映，与坐标系的选择无关。对于直角坐标系和极坐标系，因为它们都是正交坐标系，因此两坐标系下的物理方程具有相同的形式。物理方程：

8、应力与应变的关系对于理想弹性体，平面应力问题的物理方程极坐标中的物理方程对于理想弹性体，将直角坐标系的物理方程中下标作相应的替换，可得极坐标中平面应力问题的物理方程如下：将平面应力问题物理方程中的E和m作如下替换，可得平面应变问题的物理方程（4-4）（4-3）极坐标中的边界条件1、对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常均为坐标面，即r面（r为常数）和f面（f为常数），使边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。