平面问题地极坐标解答.ppt

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1、第四章平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。§4-1极坐标中的平衡微分方程§4-2极坐标中的几何方程与物理方程§4-3极坐标中的应力函数与相容方程§4-4应力分量的坐标变换式§4-5轴对称应力与相应的位移§4-6圆环或圆筒受均布压力压力隧洞§4-7曲梁的纯弯曲§4-8圆盘在匀速转动中的应力与位移§4-9圆孔的孔边应力集中§4-10楔形体的楔顶与楔面受力§

2、4-11半平面体在边界上受法向集中力§4-12半平面体在边界上受法向分布力主要内容§4-1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体xyOPABC体力：应力：PA面PB面BC面BC面应力正向规定：正应力——拉为正，压为负；剪应力——r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；r、θ的负面上，与坐标方向相反时为正。xyOPABC2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：将上式化开：（高阶小量，舍去）xyOPABC两边同除以：两边同除以，并略去高阶小量：xyOPABC——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（4－1）方程（4－1）中

3、包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。§4-2极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程xyOPAB(1)只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）xyOPBA径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）剪应变为：（e）yxOPBA(2)只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向线段PB的相对伸

4、长：环向线段PB的转角：（h）（i）剪应变为：（j）(3)总应变整理得：（4－2）——极坐标下的几何方程2.物理方程平面应力情形：平面应变情形：（4－3）（4－4）弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）几何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面应力情形)边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）rrrrlra取半径为a的半圆分析，由其平衡得：§4-3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标下变形调方程（相容方程）（2-22）（2-23）（平面应力情形）

5、（2-25）(2-27)(2-26)应力的应力函数表示：2.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：（常体力情形）（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：（常体力情形）方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：（2）应力分量与相容方程的坐标变换：应力分量的坐标变换(a)(b)(c)xyOrPxy

6、由直角坐标下应力函数与应力的关系（2－26）：极坐标下应力分量计算公式：（4－5）可以证明：式（4－5）满足平衡方程（4－1）。相容方程的坐标变换说明：式（4－5）仅给出体力为零时的应力分量表达式。相容方程的坐标变换(a)(b)将式(a)与(b)相加，得得到极坐标下的Laplace微分算子：极坐标下的相容方程为：（4－6）方程（4－6）为常体力情形的相容方程。说明：弹性力学极坐标求解归结为结论：（1）由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数（4－6）（2）由式（4－5）求出相应的应力分量：（4－5）（3）将上述应力分量满足问题的边

7、界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）3.轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题：qO（4－5）（4－6）由式（4－5）和（4－6）得应力分量和相容方程为：（4－10）应力分量：相容方程：§4-4应力分量的坐标变换式(1)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量(2)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量（4－8）（4－9）§4-5轴对称应力与相应的位移求解方法：——逆解法1.轴对称问题应力分量与相容方程（1）应力分量（4－10）（2）相空方程2.相容方程的求解将相容

8、方程表示为：4阶变系数齐次微分方程将其展开，有——4阶变系数齐次微分方程方程两边同乘以：——Euler齐次微分方程令：有代入上述方程其特征方程为方程的特征值方程的特征根为：于是，方程的解为：将代回：（4－11）——轴对称问题相容方程的