波动方程与波速

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1、§10.3平面波波动方程与波速前面从振动状态传播角度，即运动学角度，得出了简谐行波的表达式，还可以从动力学角度分析媒质中质元的受力与形变，从而得到动力学方程即波动的微分方程，其解就是前面的波动方程。我们不作这样的分析（数理方程中出现），而是通过求偏导数得出这样的方程：（波动的动力学方程）§10.3平面波波动方程与波速(u为波速)平面波波动方程：对于无吸收的各向同性的均匀介质，在三维空间传播的一切波动过程都满足下列方程：(ξ为质元的位移)=++ξzt222ξξξxy222221u2¶¶¶¶¶¶¶¶波速u决定于介质的特

2、性（惯性和弹性）（一维简谐波的表达式就是此波动方程的解）(1)紧张柔软的弹性绳上传播的横波：※具体问题：（E—杨氏弹性模量，—体密度）(2)固体棒中传播的纵波：Fl0l0+lF线应变（—绳的初始张力,—绳的线密度）(2)固体棒中的纵波:(3)固体中的横波:G—切变模量，F切切应变∵同种材料G

3、lF线应变(4)流体中的纵波:（=Cp/Cv,摩尔质量）体变ppppV0+V理想气体:在液体和气体中，不可能发生切变，所以在液体和气体中不能传播横波！K—体变弹性模量,0—无声波时的流体密度.（波动的动力学方程）说明：它并不是包罗万象的，它的适用范围仅限于线性的无色散、无耗散介质中的经典波动，超出这一范围，形式五花八门，无法归纳成少数几种标准形式。补充：相速跟频率无关的波叫作无色散的波。“色散”一词是从光学借用来的，各种不同色彩（即各种不同频率）的光波在一些介质，例如水滴或玻璃中的相速各不相同。色散——

4、就是复杂波在一定条件下分解为各种频率成分的现象。色散现象是由于在介质中光速随波长而变，以后在物理学中把“色散”的概念推而广之，凡波速与波长有关的现象，都叫做“色散”，与k的依赖关系称为色散关系。解（1）气体中纵波的速度由理想气体状态方程例：假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的传播过程可看作绝热过程.（1）视空气为理想气体，试证声速与压强的关系为，与温度T的关系为.式中为气体摩尔热容之比，为密度，R为摩尔气体常数，M为摩尔质量.解（2）由（1）例：假如在空气中传播时

5、，空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的传播过程可看作绝热过程.（1）视空气为理想气体，试证声速与压强的关系为，与温度T的关系为.暗（2）求0℃和20℃时,空气中的声速.（空气）§波动方程——推导参考波动方程——由动力学规律得到的概括振动传播规律的方程.以平面横波为例讨论Oxyx+xyx设横波沿x方向传播，体元横截面积S，密度.设横波沿x方向传播，体元横截面积S，密度.x处，由胡克定律在忽略高级无穷小量时，有又——横波的波动方程——纵波的波动方程——横波的波动方程——柔软弦中的

6、横波作业：10.3.1.