牛顿插值算法及实现

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1、牛顿插值算法与实现牛顿真是牛，拉格朗日插值法只能算是数学意义上的插值，从插值基函数的巧妙选取，已经构造性的证明了插值法的存在性和惟一性，但是从实现的角度看并不很好，而牛顿很好的解决了这个问题。牛顿插值是基于下面这些的公式：f[x0,x1,...xk]=(f[x1,...xk]-f[x0,...xk-1])/(xk-x0)f[x]=f(x)f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+R

2、n(x)前两个是均差的递推关系式，而后一个就是牛顿插值公式，其中N(x)=f(x)-Rn(x)，即目标多项式，Rn(x)是n阶插值余项，我们就是用N(x)去近似f(x)。可以构造这样一个均方差表：xk  f(xk)  一阶均差  二阶均差...x0  f(x0)x1  f(x1)    f[x0,x1]x2  f(x2)    f[x1,x2]    f[x0,x1,x2]...如果有n个点插值，表会有(n*n)/2+n个表项，如果直接编程会有O(n*n)的空间复杂度，编程时做个简单的改进，不难发现在

3、这个表中只有部分数据有用，对角线（斜行）它们是目标值，用来表示多项式的，左边的两纵行（实际上只需要x一行）以及最底下的一行，表示当前插值的状态。经过改进后只需要O(n)的空间复杂度。两个过程：1，新增加一个点时的更新。只须更新最底下一行数据，其递推关系由均差公式给出，最后算出高一队的均差值，需时O(n)2，插入点完成后如何计算多项式在另外给定点的值N(x)。由牛顿插值公式，最终的表达式为：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0

4、,...xn](x-x0)...(x-xn-1)如果直接将它展开，再算实在麻烦，实际上大可不必这样做，还记得多项式求值的秦九韶算法吗？将多项式‘叠’起来，从内层括号往外一层层拨开，n次多项多的计算，只需要做n次乘法，同样的思想，将上式改写成：N(x)=f[x0]+(x-x0){f[x0,x1]+(x-x1){f[x0,x1,x2]+(x-x2){...{f[x0,...xn-1]+(x-xn-1)f[x0,...xn]}...}就可以同样简单的计算了，时间复杂度O(n)综合起来的性能：对于n个点的插值

5、，产生多项式的时间复杂度是O(n*n)，最终进行一个点的计算的时间复杂度是O(n)。C++代码实现//file:newton.h#ifndefNEWTON_DEF_#defineNEWTON_DEF_classCNewton{ double*f[2]; double*x; intmax; intn;public: CNewton(intMaxN);//MaxN为最大插值点数可任意设定 ~CNewton(); voidInsertPoint(doubleX,doubleY); doubleGetValu

6、e(doubleX);};#endif//file:newton.cpp#include"newton.h"#include"assert.h"#include"math.h"#ifndefNULL#defineNULL0#endifCNewton::CNewton(intMaxN){ max=MaxN+1; n=0; x=newdouble[max]; f[0]=newdouble[max]; f[1]=newdouble[max]; assert(x!=NULL); assert(f[0]!=NU

7、LL); assert(f[1]!=NULL);}CNewton::~CNewton(){ if(x)  delete[]x; if(f[0])  delete[]f[0]; if(f[1])  delete[]f[1];}voidCNewton::InsertPoint(doubleX,doubleY){ inti; doublefw; assert(n

8、重复点可删去上面语句 x[n]=X; fw=Y; for(i=1;i<=n;++i) {  doubletmp=fw;  fw=(fw-f[1][i-1])/(x[n]-x[n-i]);  f[1][i-1]=tmp; } f[0][n]=f[1][n]=fw; n++;}doubleCNewton::GetValue(doubleX){ if(n==0)  return0.0; doubles=f[0][n-1]; for(inti=n-2;i>=0;