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1、定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307）吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O,设=OP2=bf若砰=又两，—*1一-*则0尸=—八1+A1+A特别地，当；1=1时,即P为线段尸&的屮点，则有去5+去石。用定比分点的向量公式，可使有些W题的解决更简洁。卜面举儿例说明。一、求定比A的值：例1:已知A（2,1）,8（3，一1）及直线/:），=4x-5,直线AB与/相交于P点，求P点分@的比Z。解：设P（x，y），则由=A河，得(ay)2(23)+^(v,)1+3A1-/11+/I1+乂又YP点在直线/上，.1-/14(1+3/1)r1+A1+A例2:如图
2、所示，在MBC中，D为边BC上的点，lBD=kDC，E为AD上的一点，RDE=IEA，延长BE交AC于F，求F分有向线段G4所成的比义解：VCF=AFA,:.BF义DE=IEA，~BE=1+ABD+BC+而BD=kDCBC，:.BE1+ABA,BAAfiC+BA，-•—•*1—•t•2t—-•••B、E、F共线，•••设=而=fiC+BAl+A1+AZr*/»t•又f»/•BC+——BA=——BC+——BA(1+/)(1+幻1+Z1+A1+At_kl+A(1+’)(14■幻，鵬A=巫成At_Ik1+A1+/二、求直线上点的坐标例3:已知点71(-1，一1)，B(2,5),点C
3、为直线AB上一点，且元二—5万己，求C点的坐标。分析：先求出C点分M的乂的值，再利用定比分点的向量公式求出点C的坐标。解：VAC=-5BC,:.AACCB5,利用定比分点的坐标公式有—*1—*5參153OC=-OA+
4、OB=-(-l-l)+
5、(2,5)=(妥，4)666623•••C点的坐标为(一，4)。3AB,求点C,D的坐标例4:己知A(2,3)，5㈠，5)，^严AD分析：由题设，运用定比分点的向y:公式，可以求得点C，D的坐标解：设CUp^),D(x2,y2),•:AC=-AB,32_^C_1CB2•1—>2••••根据定比分点的向=亂•••(;，％)=px(2,3)+
6、1+-2II2112+X(—1，5)=
7、x(2,3)+
8、x(-l,5)=(1，¥)——-——-An3同理由t4Z)=3AS得/I，==r=--,"DB2•1—>2•:.根据定比分点的向fi公式有0C=—-0A+—l—0B,1+A,1+A2_319(X2，y2)二一-X(2,3)+-^-x(-1,5)二-2x(2,3)+3x(-1,5)=(-7,9)1--1+-22.•.点C的坐标为(1，■!■!■)，D点的坐标为(—7,9)。三、证明三点共线例5:已知点A(6Z，/?+(?),B(b,c+a),C(c,a+b),求证：A、B、C三点共线。证明：设dy)在Afi上，(^分/^的
9、比为A，则ocf04+1+A_Ah义"+/?+々+(?、=i+A9ma+Ab1+A+b+Ac+cm(«，/?+c)+(/?，c+a)1+Aa-c解得/I=c-by=a+b•••C(c，y)与C(ca+b)重合，由题设知C在AB上，.••A、B、C三点共线。四、求字母系数范围例6:已知点4(3,3),B(-1,5),—次函数y二fcv+1的图象与线段AB有公共点，求实数A的取值范围。解：设尸(x，y)为一次函数图象与线段AB的交点，把P看作AS的定比分点，其定比为；I，则有A20,由定比分点公式有0B=(33)+(-15)=3—A34-5A.1+A1+A而P点在函数y=Zir
10、+l图象上3+5/1女+43^_2?A>0,即土或々<-4,女+43而当P点与B重合时，A=-4也适合。2k—4或众2一。3例7:若直线y=-or-2与连接P(-2,1)，0(3,2)两点的线段有公共点，求实数“的取值范围。解：当直线过P点时，a=—,直线过Q点时，a=,23当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点分7^的比为/I，由定比分点公式有0M1+又•••M点的坐标为（又*/直线过点M,1OP^^-OQ1(-2,l)+^-(3,2)=(_2+3/l1+2A旧=_似^^_2,1+A2a-3•••A3^z+4又•.•点M在线段PQ上知Z〉0,2/7-343•••〉
11、0，解得61<或6Z〉一，36/+432Cl或672—o32五、解决平面几何问题：例8:如图所示，在平行四边形ABCD+,P点在线段AB上，且AP~PBm，Q在线段AD上，R—=nfBQ与CP相交于R,求g■的值QDRC分析：取两基底，由定比分点的肉:W:公式将有关I4:W:用基底表示出来，再求解解：设=BC=b，PR=ARCPRRCA,则尸=——PA-BA-a，m"2+1m+I1►1»n»1-nBQ=BA+BD=a+1+/Z1+n1+n1+nJk=1ABC1由题意有A/5=mPB，AQ=nQD，1+A
