定比分点地向量公式及的应用

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1、实用标准文案定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307）吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O，设，，若，则。特别地，当时，即P为线段的中点，则有。用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的值：例1：已知A（），B（）及直线：，直线AB与相交于P点，求P点分的比。解：设，则由，得，又∵P点在直线上，∴，∴。例2：如图所示，在中，D为边BC上的点，且，E为AD上的一点，且，延长BE交AC于F，求F分有向线段所成的比。解：∵，∴，又，∴，而，∴，∵B、E、F共线，∴设，而∴精彩文档实用标准文案∴，解得。二、求直线上点

2、的坐标例3：已知点，，点C为直线AB上一点，且，求C点的坐标。分析：先求出C点分的的值，再利用定比分点的向量公式求出点C的坐标。解：∵，∴，利用定比分点的坐标公式有。∴C点的坐标为。例4：已知，，且，，求点C，D的坐标。分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C，D的坐标。解：设，，∵，∴，∴根据定比分点的向量公式有，∴同理由得，∴根据定比分点的向量公式有，∴精彩文档实用标准文案∴点C的坐标为，D点的坐标为。三、证明三点共线例5：已知点，，，求证：A、B、C三点共线。证明：设在上，分的比为，则∴，解得∴与重合，由题设知C在AB上，∴A、B、C三点共线。四、求字

3、母系数范围例6：已知点，，一次函数的图象与线段AB有公共点，求实数的取值范围。解：设为一次函数图象与线段AB的交点，把P看作的定比分点，其定比为，则有，由定比分点公式有，而P点在函数图象上，∴，解得，∴，即或，而当P点与B重合时，也适合。∴或。例7：若直线与连接，两点的线段有公共点，求实数的取值范围。精彩文档实用标准文案解：当直线过P点时，，直线过Q点时，，当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点分的比为，由定比分点公式有，∴M点的坐标为，又∵直线过点M，∴，∴，又∵点M在线段PQ上知，∴，解得或，∴或。五、解决平面几何问题：例8：如图所示，在平行四边形ABC

4、D中，P点在线段AB上，且，Q在线段AD上，且，BQ与CP相交于R，求的值。分析：取两基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。解：设，，，∴，由题意有，，则，，，又B、R、Q三点共线，∴存在实数使，∴，精彩文档实用标准文案∴，且。∴，即。例9：设直角三角形AOB斜边的三等分点为D、E。求证。分析：以O为原点，为轴正向建立直角坐标系，设，，用，表示相关线段的长度，从而证明命题。证明：以直角顶点O为原点，直角边OA、OB所在直线为轴，轴建立直角坐标系，如图设点，点，则D分的比为，∴由定比分点的向量公式得∴点D坐标为同理点E坐标为，由两点间距离公式，得，

5、，，∴，而，∴。例10：如图，已知，求证：的三条中线AD、BE、CF相交于一点G，且。分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有关线段设为向量，可以在平面内任取一点O为向量的始点，将、、精彩文档实用标准文案设出。证明：如图，在平面内任取一点O，设，，，又设为AD上一点，且，则∵D为BC中点，∴，∴，同样，若设，，则可证得,∴∴、、三点重合。设交点为G，则有。精彩文档