解三角形(正弦定理与余弦定理)专项训练

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1、解三角形正弦定理和余弦定理专项训练方法技巧命题类型：（1）正弦、余弦定理的应用（2）三角形形状的判定：判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．解三角形常见题型及求解方法(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦定理，求出角B，

2、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况.一、选择题1.在中，角所对的边分别为.若，则(A)-(B)(C)-1(D)1【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决.【精讲精析】由可得所以．选D.2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sinC＝2s

3、inB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由sinC＝2sinB可得c＝2b，由余弦定理得cosA＝＝＝，于是A＝30°，故选A.3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－B.C．－D.解析：选D.由正弦定理得＝，7∴sinB＝＝＝.∵a>b，A＝60°，∴B为锐角．∴cosB＝＝＝.二、填空题4.已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积_______________【思路点拨】设三角形一边的长x，可以用x表示其

4、它两边，再利用余弦定理建立方程求出x，最后利用三角形面积公式求出的面积.【精讲精析】设三角形长为x，则另两边的长为x-4,x+4,那么【答案】5．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S△ABC＝，那么角C＝________.解析：由absinC＝得sinC＝.根据余弦定理得cosC＝，得sinC＝cosC，即tanC＝1，故C＝.6.在中，，则的最大值为.【思路点拨】利用三角函数知识，化简，统一角变量，然后求最大值.【精讲精析】令，，则由正弦定理得且，＝(其中当时，取最大值为7

5、.△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为_________7【思路点拨】用余弦定理求得边BC的值，由求得三角形的面积【精讲精析】设，由余弦定理，得，解得，8.满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．【思路分析】直接利用正弦定理求解．【解析】由正弦定理得＝，故＝，即sinC＝，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，可得B＝75°；当C＝120°时，可得B＝15°.显然这两解均符合题意，故这样的三角形有2个．【方法总结】已知三角形的两边和其中一边的

6、对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对角的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．三、解答题9.在△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD的长．【解】由cos∠ADC＝>0知∠B<，由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC·cosB－cos∠ADC·sinB＝×－×＝.由正弦定理得＝，所以AD＝＝＝25.【名师点评】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换在解三角形中的应用，同时，对

7、逻辑推理能力及运算求解能力进行了考查．10.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a，b的值；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．【思路分析】由正、余弦定理及面积公式列关于a，b的方程组．【解】(1)由余弦定理得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于，7所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.所以△ABC的面积S＝absi

8、nC＝.【规律小结】余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，在能够确定三边的情况下求三角形的面积，只要再求得三角形的一个角就可以了．11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(2b－c)·cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝，S△ABC＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．【解】：(1)法一：∵(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得，(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，∴2sinBcosA－sin(A＋C