正弦定理、余弦定理及解三角形.doc

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1、正弦定理、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C．变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；(其中R是△ABC的外接圆半径)③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；cosA＝；cosB＝；cosC＝.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

2、①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角2．三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)．(2)S＝absinC＝bcsinA＝casinB.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(√)(2)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(3)在△ABC中，有sinA＝sin(B＋C)．(√)(4)在△ABC中，＝.(√)(5)在

3、△ABC中，若a2＋b2＜c2，则△ABC为钝角三角形．(√)(6)公式S＝absinC适合求任意三角形的面积．(√)(7)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．(√)(8)在△ABC中，若∠A＝60°，a＝4，b＝4，则∠B＝45°或∠B＝135°.(×)(9)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B.(×)(10)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A、B、C≠)．(√)考点一　利用正、余弦定理求边和角命题点1.用正弦定理解三角形2.用余弦

4、定理解三角形3.用正、余弦定理进行边角互化解三角形[例1]　(1)(2016·高考全国丙卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝(　　)A.　B.C.D.解析：设BC边上的高为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD，所以AC＝＝AD.由正弦定理，知＝，即＝，解得sinA＝，故选D.答案：D(2)(2016·高考全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)A.B.C．2D．3解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5，

5、整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.答案：D(3)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由正弦定理可知c＝2b，则cosA＝＝＝＝，所以A＝30°.答案：A[方法引航]　(1)解三角形时，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)

6、三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：＝，sinB＝，又0＜B＜π，可得B＝或π.答案：或π2．在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝__________；sinA＝________.解析：c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋

7、4－1＝4，∴c＝2；cosC＝，则sinC＝，由正弦定理，得＝，得sinA＝＝.答案：2；3．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝，c＝2a－b＝cosC＝＝－，又0＜C＜π，因此角C＝.答案：考点二　三角形形状的判定命题点1.利用角的关系判定三角形形状2.利用边的关系判定三角形形状[例2]　(1)已知△ABC的内角A，B，C成等差数列，且A，B，

8、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则△ABC为(　　)A．直角三角形　B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：∵内角A、B、C成等差数列，∴A＋C＝2B.又A＋B＋C＝π.∴B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac.又b2＝ac，∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝，∴△ABC为等边三角形．答案：B(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC