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1、导数证明不等式第一篇：应用导数证明不等式应用导数证明不等式常泽武指导教师：任天胜（河西学院数学与统计学院甘肃张掖734000）摘要：不等式在初等数学和高等代数中有广泛的应用，证明方法很多，本文以函数的观点来认识不等式，以导数为工具来证明不等式。关键字：导数不等式最值中值定理单调性泰勒公式中图分类号：o13applicationderivativetotestifyinequalitychangzeathematicsandstatisticsgansuzhangye734000)abstract:heinequalityinelementarymathema
2、ticsandhigheralgebraisanymethods,basedonthefunctionpointofvieostvalueofderiv(请你继续关注好：.Haomonotonicitytaylorformula1.利用微分中值定理来证明不等式在数学分析中，我们学到了拉格朗日中值定理，其内容为：定理1.如果函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?上可导，则至少存在一点???a,b?，使得f'(?)?拉格朗日中值定理是探讨可微函数的的几何特性及证明不等式的重要工具，我们可以根据以下两种方法来证明。（1）首先，分析不等式通过变形，
3、将其特殊化。其次，选取合适的函数和范围。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根据函数的单调性和最大值和最小值。（2）我们可根据其两种等价表述方式①f(b)?f(a)?f'(a??(b?a))(b?a),0???1②f?a?h??f?a??f'?a??h?h,0???1我们可以?的范围来证明不等式。f(b)?f(a)。b?a11(x?0)例1.1证明不等式ln(1?)?x1?x证明第一步变形1ln(1?)?ln(1?x)?ln(x)x第二步选取合适的函数和范围令f(x)?lntt??x,1?x?第三步应用拉格朗日中值定理存在???x,1?x?使得f'(?)?f
4、(1?x)?f(x)(1?x)?(x)即ln(1?x)?ln(x)?1?而?<1+x11?x1?x1)?而0?x???即ln(x1?x?ln(1?x)?ln(x)?例1.2证明：?h>-1且h?0都有不等式成立：h?ln(1?h)?h1?h证明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得ln(1?h)?f(h)?f(0)?f'(?h)h?当h>0时有1??h?1?1?h,当?1?h?0时有1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h2．利用函数单调性证明不等式我们在初
5、等数学当中学习不等式的证明时用到了两种方法：一种是判断它们差的正负，另一种是判断它们的商大于1还是小于1.而我们今天所要讨论的是根据函数的导数的思想来判断大小。定理：设函数f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?可导，那么（1）若在?a,b?内f'(x)?0则f(x)在?a,b?内单调递增。（2）若在?a,b?内f'(x)?0则f(x)在?a,b?内单调递减。使用定理：要证明区间?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令f(x)?f(?x)。g使在(x)?a,b?上f'(x)>0（f'(x)<0）且f(a)=0或（f(b)=0）例2.1设x?
6、0证明不等式ln(1?x)?xe?x证明：令f(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）显然f(0)?01ex?x2?1?x?x（x>0）f'(x)??e?xe?x1?x(1?x)e现在来证明ex?x2?1?0令f(x)?ex?x2?1显然f(0)?0当x?0时f'(x)?ex?2x?0于是得f(x)在x?0上递增故对x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0而(1?x)ex?0所以f'(x)?0故f(x)递增又因为f(0)?0所以f(x)?0所以ln(1?x)?xe?x成立3．利用函数的最大值和最小值证明不等式当等式中含有“=”号时，不等式f(x
7、)?g(x)(或f(x)?g(x))?g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等价于函数g(x)?g(x)?f(x)有最小值或f(x)?f(x?)g(有最大值。x)证明思路：由待正不等式建立函数，通过导数求出极值并判断时极大值还是极小值，在求出最大值或最小值，从而证明不等式。1例3.1证明若p>1，则对于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?12证明：构造函数f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)则有f'(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)令f'(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?
8、1，于是有x?1?x，从而求得x?1。由于2函数f(
