第二章回归模型及其应用

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1、第二章回归模型及其应用［学习目标］>熟悉一元回归和多元回归模型及其运用;>掌握线性回归结果的t检验和F检验；>熟悉模型的稳定性检验；>熟悉虚拟变量的运用。近年来，国际国金融计fi方法有了飞速的发展，新的计:W:模型和理论层出不穷，然而作为计y:经济学的经典回归理论，在经济计a中仍有广泛的运用。它主要被用来描述和估计出某一选定变y:与其他一组变y:之间的理论关系，并在金融投资领域得到广泛应用，如对经典投资理论CAPM模型，APT模型，IPO折价等进行实证研究，所以说我们在更深入地学习金融计量学之前，先必

2、须要对经典冋归模型进行全面牢固的掌握。本章先介绍一元冋归和多元冋顾模型的估计和检验，然后再介绍如何使用虚拟变量以及如何检验模型的稳定性。第一节一元线性回归模型及其应用一元线性回归模型是用于描述两个变量之间的线性关系的计量模型，它是多元线性回归模型和非线性回归模型的基础，在金融实证分析中有较广泛的运用，因此牢固掌握一元回归模型有助于进一步学习多元线性回归模型和非线性回归模型。一、一元线性回归模型一元线性回归模型可表达为+(3xt+//,.(z=1,2,---,T)(2.1)y为被解释变量或因变量；x为解

3、释变量或自变量：％为误差项或扰动项，该项表示>，变化屮未被％所解释的部分；r为样本个数。为了使参数的估计量具有比较好的性质，通常我们需要对于模型(2.1)提出若干假定。如果实际模型满足这些假定，在估计模型的参数值时，普通最小二乘法就是一种比较适用的估计方法。古典线性回归模型包含一系列基本假设，这些假设包括：(1)随机误差项具有零均值和同方差性，即£(///)=0，Var(p/)=(2)随机误差项之间不相关，即£(///，巧)=0，V»z7=1,2,…，T(3)解释变量;v与随机误差项不相关，，V/a

4、/，/、y=i，2，...，r(4)随机误差项(randomerrorterm)服从均值力零，同方差的正态分布，即Pi〜(5)—般假定解释变Sx具有非随机特征，这个假定说明被解释变Sy的概率分'布具有均值：£(>;

5、x,.)=++=a+/3xi以上假设称为线性冋归模型的经典假设或者高斯假设，满足该假设的线性冋归模型，也称为经典线性回归模型。在实际建模过程中，除了随机干扰项的正态假没之外，对模型是否满足其它假没都需要进行检验。在以上的假定中，假没(1)意味着y的观测值有可能分布在直线的两旁。而E(Yi)

6、=a+/3Xj(2.2)因此，点(x,，y)的分布趋势大致上同直线r=—致，比如说当夕〉o时，若'•较大，则y也较大。因此，我们把+这一确定性部分称为K的趋势部分。用经济时间序列数据建立模型时，关于误差项同方差并不一定合理。以f表示时间，建立如下模型：=6/+pxi+//.(2.3)像这样的模型，误差项的方差很多情况下与时间f相关。关于假设(2)，在模型(2.1)中，这意味着误差项％是一个不相关的序列，即：E(UiUj)=0(/^y)(2.4)在经济时间序列的场合，这是一个很严格的假定，在大多数的场合

7、，误差项总存在着或多或少的自相关性。对于存在自相关的时间序列，我们可以用广义差分法或者迭代法处理。由于y与线性相关，因此y本身也是随机变量。对于x的任何值，y将服从正态分布，k的统计分布完全能够用它的均值和方差来描述，也就是：E{Y^=£(6/4-/3X.+)(2.5)巾于“和夕是常数，并且义是随机的，因此上式可以变为：EfX)=a+/3Xt+£(wz)(2.6)但是，我们假设％的期望值力0。因此(2.6)又可以变成：EiY^a^fiX,(2.7)由于％的期望值为0,所以K的方差，等于％2的期望值，即

8、存在：(u:—0)2/n=/n=E(uf)=cr2(2.8)因此，K服从于正态分布;+这可以用图2-1进行说明。对于X的每一个值，都存在一个f的期望值，而服从正态分布，则我们可以估计};的概率，由此得到概率模型。图24:普通最小二乘回归模型二、最小二乘法(OLS)最小二乘法的基木原则是：最优拟合直线应该使各点到直线的距离绝对伉之和最小。为了数学表达方便，剔除正负号的影响，上述原则可变为距离的平方和最小。假定根裾这一原理估计得到的人分别为6、0，则直线可表达为=6+房V,.。直线上的乂值记为免，称为拟合

9、值(fittedvalue)。如图2-2(a)所示：实际值与拟合值的差记为及，称为残差(residual),可以看作是随机误差项的估计值。根据前而的定义，最小二乘法就是使得直线与各散点的距离的平方和最小，实际上是使T残差平方和(residualsumsquares，简称么2最小化，即最小化'•=1RSS=^(j,-X)2=-rz-4^/)2(2.9)/=1/=1并令其为零，即可得到如下结果:(2.10)(2.11)根据最小化的一阶条件，将上式分别对6、夕