高三数学解题教学中对课本例题和习题的再探索

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1、高三数学解题教学中对课本例题和习题的再探索解题教学是高三数学教学的重要组成部分之一.解题教学的基本含义是，通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会“数学地思维”.概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、素质的提高等都离不开解题实践活动.解题也是评价学生认知水平的重要手段和方式.对高中数学教学中的解题课而言，不仅要把“题”作为研宄的对象，把“解”作为研究的目标，而且要把“题解”也作为对象，把开发智力、促进“人的发展”作为目标.提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“

2、能力”.高三学生面临着课程难度大，作业多，节奏快等诸多压力，因此，如何让解题教学能更好地提高效率，跳出题海，是每个数学老师面临的问题.许多老师都致力于解题教学研究，对于解题策略，更是百家争鸣，各抒己见.在这里，我根据自己的教学实践，通过一些具体实例，谈我在教学实践中对解题教学的一点认识一一如何借助教材，使得高三数学解题教学更有效.引例普通高中人教A版数学教材《选修2-2》第31页习题B组第一题：利用函数的单调性，证明不等式：ex〉x+l，x乒0;并通过图象直观验证.简单证明原不等式等价于ex-x-l〉0，x#0々F(x)=ex-

3、x-l，贝!JF’(x)=ex-l，二ex-x-1在(-°°由F'(x)>0得x〉0，.*.F0)单调递减，(0，+°°)单调递增.•••F(x)在x=0处取得最小值F(0)=0，而xt^O,•••F(x)>0，即ex-x-l>0，xt^O.解后反思在运用导数证明不等式这一课时，我选用了课本上这一道题，因为这个不等式具有如下特点:证明方法具有典型性一一构造函数，判断单调性，求最值；证明过程简单__直接求导，就能完成；形式独特__一边是指数式或对数式，另一边是整式；左右两边的两个函数的图象熟悉，并且位置关系特殊；最重要的，这个不等

4、式的拓展空间很大，能给学生的思维活动提供充分锻炼.完成证明过程后，抛出问题：拓展例1指数函数与对数函数有什么关系？结合图象，能否得到对数函数与一次函数之间的和上述不等式类似的不等关系，并证明.学生结合已有知识，根据指数、对数函数图象之间的对称关系，证明不等式：lnx^x-1,x〉0.证明过程由学生自己完成.学生在提前准备好的坐标纸上画出四个函数的图象，并观察，思考，总结.老师利用几何画板在大屏幕上展示在同一坐标系中这几个函数的图象.观察图象发现函数f(x)=ex的图象与函数g(x)=lnx的图象之间所夹两条平行线：y=x+l,y

5、=x-l,于是设计了第三个问题：拓展例2定义：对于函数y=F(x)与y=G(x)在其公共定义域内的任意实数xO,称

6、F(xO)-G(xO)

7、的值为两函数在xO处的差值.已知函数f(x)=ex，证明：y=f(x)与其反函数在其公共定义域内的所有差值都大于2.解析f(x)=ex的反函数是g(x)=lnx,结合题目所给的“差值”的定义，原命题等价于

8、ex-lnx

9、>2在区间(0，+°°)恒成立.在区间(0，+°°)上，ex-lnx>0恒成立，则原不等式等价于ex-lnx>2在区间(0,+°°)恒成立.如果构造函数F(x)=ex-lnx

10、-2,则F'(x)=ex-lx,在区间(0，+°°)上符号不确定.F〃(x)=ex+lx2>0得到F'(x)=ex-lnx-2在区间(0，+°°)恒单增，但是零点无法确定，因此，不能利用F(x)max>0来解决.如果利用前面证明过的两个不等式ex>x+l，xt^O和lnx0.问题就变得很简单.说明如下：ex-lnx^x+l-lnx^x+1-(x-1)=2，并且前后两个等号不同时成立，得到ex-lnx>2在区间(0，+°°)恒成立.这两个不等式在解决利用导数证明不等式的综合问题中，也能发挥重要作用.拓展例3(2013

11、?课标全国卷II)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(I)略；(II)当m<2时，证明f(x)〉0.(II)证法1:当m<2，且xe(-m,+°°)时，In(x+m)^ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)>0.当m=2时，函数f'(x)=ex-lx+2在(-2，+°°)上单调递增.结合函数y=ex与y=lx+2的图象，xOE(-i，0)，使得f'(x)=0.当xE(-2，x0)时，f'(x)0.则当x=xO时，f(x)min=f(x0).再由f'(x)=0得ex0=lx0+2，得In(xO+2)=-x0.故f(x

12、)min^f(xO)=lxO+2+xO=(x+1)2x0+2>0.综上所述：当m彡2时，f(x)>0.(II)证法2:当m<2，且xe(-m,+°°)时，In(x+m)^ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)>0ex-ln(x+2)〉0.利用前面己经证明