由一道高考错题引发的思考

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1、由一道高考错题引发的思考摘要：数学课程标准提出数学学科特点具有应用性、灵活性、抽象性、准确性。说到准确性，要求学生计算过程要准确，计算结果要经得住检验。2013年全国高考数学理科试题(浙江卷)第15题，由于出题者和审题人的疏忽，导致出现了一个错题。究其原因可能是因为此题是一道填空题，出题人在编制题目时并没有对结果进行检验，从而导致在影响如此重大的考试中出现错题，值得数学老师认真反思。关键词：准确性；检验；局考错题下面就题目本身以及可能出现的问题加以说明。设F为抛物线C:y2=4x的焦点，过点P(-1，0)的

2、直线I交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若FQ=2，则直线的斜率等于.给出的参考答案是k=±l，大致的解法有两种：解法一'：(点差法)设直线I的方程为y=k(x+l)，A(xl,yl),B(x2，y2)，Q(xO,yO),由于点A，B都在抛物线上，故满足yl2=4xly22=4x2，两式相减得到(yl+y2)(yl-y2)=4(xl-x2),所以y0=，又点Q在直线I上，故可得xO=，根据FQ==2,解出k=±l.解法二：(联立方程，代入法)设直线I的方程为y=k(x+1)，A(xl,yl)，B

3、(x2,y2),Q(xO,yO),联立方程y=k(x+1)y2=4x,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由韦达定理可得，xl+x2=，于是x0=，代入y=k(x+l)，得到y0=，根据FQ==2，解出k=±l.以上两种解法见于对浙江高考题的各种解读资料，初看没有任何问题，两种解法得到的结果都一样，但我们忽略了一个重要环节__检验。不难发现当k=l时，此时直线的方程为y=x+l，与抛物线联立消y后得到x2-2x+l=0,即x=l，也就是说直线与抛物线仅有一个公共点，即直线I与抛物线C相切，当k=-

4、l时同理。这与题中所述直线与抛物线有两个交点A，B显然矛盾。综上所述，题目本身在设置上出现了重大错误。同样的问题出现在了人教A版选修2-1习题2.3的B组第4题中，该题是这样叙述的：已知双曲线x2-=1，过点P(1，1)能否做一条直线I，与双曲线交于A,B两点，且点P是线段AB的中点？其中王后雄学案教材完全解读中给出的解法是：设直线I的方程为y-l=k(x-l)，A(xl,yl)，B(x2，y2)，xl2-=1x22-=1，两式相减得(xl+x2)(xl-x2)=，又中点P(1，1)，所以得k=2,故存在直

5、线l:y=2x-l使得题目中的条件成立。但我们在汲取了浙江高考题的失误教训后，会发现将所得直线代入双曲线方程，消y后可得2x2-4x+3=0,该二次方程的判别式？驻