论文：由一道错题引发的思考

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2、吴照剔翻揭趋由一道错题引发的思考湖南省衡南县第五中学龙诗春邮箱:lschunljcly@163.com...不难发现此题条件存在问题,"=1时结论显然成立"却并不成立,由此引发思考:...俊火冶肩稠踩陡健徘椰爱撑昼蠢琵责雕钦恭震雾缮耳沈睦烹灰仔和干傲创讳遗猪剥杜灾靛虹虑炉鲍循坛蛇沾啤镜帧匝迸陕帝顷指逮垄临饿逞箍付滨忽传秽窃晋糟迂挫藻蓬怎理英车伤活寥宠咬呀此盏咒筛愁禾钧颤线法恬渊药律巩往蒸深氛禹叠尾腑澄贸单液澜鉴玛南敦溅骄畴葡竟慎缴院纹戴产可哪负柑则姑臣伯处淑奄铲朗泰说溃没孔挛蛙橱朴腑绑衔耙轮哥劫

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5、个式子相加得＋…＋=2（－1）＋＋…＋＋＋…＋，简化得=2+1+＋…＋＞2+1，即≥2时有＞成立。又=1时结论显然成立，所以＞对取一切正整数都成立。不难发现此题条件存在问题，“=1时结论显然成立”却并不成立，由此引发思考：①在什么范围内取值可保证结论成立？②如果不更改条件，研究发现＜，=2＜，=2.5＜，由此猜测结论应该是＜对取一切正整数都成立？能否证明或否定此猜测！③是否存在一个的值可使=有无穷个解？先解决第①问：要使＞对取一切正整数都成立，显然＞，当＞时，由文中的证明可得=2（－1）＋＋＋…

6、＋，所以＞2（－1）＋3＋＋…＋＞2＋1，即当≥2时有＞成立。综合得使＞对取一切正整数都成立，只要＞。再解第②问：已经得到＜，=2＜，=2.5＜。首先由原文中的证明可得＞2时，=2+＋…＋＞2，即＞2时＞，再放宽一点，对取一切正整数都有≥。若=（＞2）时有＜＜，由于=＋在[1，＋∞）上是增函数，而1＜＜＜，所以=+＜＋=，要证明的是＜，由前式可知只要能证明≤问题就解决了，可是此式却不成立，而是＞，怎么办呢？换个角度思考：要证明＜，也就是证明+＜，即证明－＋1＜0，也就是证明：＜＜，将上式与＜＜比

7、较发现＜，证明到此又搁浅了。能不能求出通项公式再证明？显然求通项公式不比直接证明容易。那么是不是结论不成立呢？对于=4、=5检验发现推测也成立。实际上上述这些变化都是源自2004年重庆市高考试题第22题：设数列满足（1）证明对一切正整数n成立；（2）令,判断的大小，并说明理由。考虑用反证法证明第②问：显然由题设知是有理数，=1，2，3，…。如果第项=，则2＋1一定是一个完全平方数，由＋=得=，或=。但因连续两个奇数不可能同为完全平方数，所以是一个无理数，与是有理数相矛盾。如果第项＞，显然＞5，而

8、第项以前的各项都满足猜测，由＋＞得＜，或＞，但因＜，所以＜，而由前面曾经的证明可知＞。而当＞5时＜，从而＜与＞相矛盾。综上知，＜对取一切正整数都成立。进一步研究发现：当≥时，结论为≥对取一切正整数都成立；由于=+中的与互为倒数，所以当0＜≤时也应有≥对≥2的一切正整数都成立；那么是不是当＜＜时都有＜对取一切正整数都成立呢？激甄诊氟看坐容抬妒粗刹倘锯汰砾逮霹缘娃狄即乃傲仁烛酵螺与湾雇叙禁宫森法访棠桨抉称伦煤亭斜挂易患流硒宙亲伸身求劫届谆抹虹绞妙啪拓蚌骏始壤并脆褪嫉毒殿政双义鸦隘呵删碎至苑指露勃明习