概率论随机变量函数的分布

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1、(3)正态分布1、定义若X的密度函数为2(x)12f(x)e2x2,为常数，0则称X服从参数为,2的正态分布。记作X～N(,2)2、f(x)的性质：(1)、图形关于直线x=对称：f(+x)=f(-x)。1(2)、在x=时,f(x)取得最大值2。(3)、在x=±为曲线y=f(x)的拐点。(4)、曲线y=f(x)以x轴为渐近线。(5)、曲线y=f(x)的图形呈单峰状。(6)、为y=f(x)位置参数。(7)、为y=f(x)形状参数。3、事件的概率1设X～N(,2)，F()P(X)2F(x)P(Xx)?0.30.2

2、50.20.150.10.05-6-5-4-3-2-14、N(0,1)—标准正态分布如果随机变量X~N0，1，则其密度函数为2x1xe2,2称之为标准正态分布。其分布函数为2xxt1xtdte2dtx2教科书上都附有标准正态分布表,由此可得(x)值.如：P(X1.65)0.9505(x)值的计算:x0,(x)直接查表，x0,(0)0.5x0,(x)1(x)P(

3、X

4、a)2(a)1正态分布的计算：(X)定理:设X～N(μ,σ2),则ZN(0,1)x结论:F(x

5、)P(aXb)F(b)F(a)baP(Xa)1F(a)a1例3设X~N(1,4),求P(0X1.6)解1.6101P(0X1.6)220.30.50.3[10.5]附表0.6179[10.6915]0.30942例4已知X~N(2,)且P(2

6、2(0)0.320.8P(X0)0.2例5设测量的误差X～N(7.5,100)(单位：米),问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9?107.5107.5解P(

7、X

8、10)10100.251.750.25[11.75]0.5586设A表示进行n次独立测量至少有一次误差的绝对值不超过10米。nP(A)1(10.5586)0.9n>3所以至少要进行4次独立测量才能满足要求.§4一维随机变量的函数的分布一、离散型随机变量函数的

9、分布已知随机变量X的分布律pk,y=g(x)为连续函数，求Y=g(X)的分布律或分布函数。设随机变量X的分布律为P(Xx)p,k1,2,kk由已知连续函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，则Y的概率分布为P(Yy)p,i1,2,ikk:g(x)yki例6已知X的概率分布为X-10121111pk8842求Y1=2X–1与Y2=X2的分布律。二、连续性随机变量函数的分布已知随机变量X的密度函数f(x)(或分布函数)求Y=g(X)的密度函数或分布函数。g(x)连续(1)先求Y=g(X)的分布函数。FYyPYyPgXyfX(x)dxg(x)

10、y(2)利用Y=g(X)的分布函数与密度函数之间的关系求Y=g(X)的密度函数。fyFy.YY例2设随机变量X具有概率密度：2x,0x1,fX(X)0,其它.试求Y=X-4的概率密度.解得Y=X-4的概率密度为：2y8,4y3,fY(y)0,其它.例3设X~N(,2),Y=aX+b,a≠0，证明：Y~N(a+b,a22)特别地，若X~N(,2),X则Y~N(0,1)当堂作业1、设X的概率密度如下，求分布函数。1x,0x1f(x)0,其它2、设X,Y同分布，概率密度函数为32x,0x2f(x)80

11、,其它已知事件A=P(X>a)与B=P(Y>a)独立，且P(A∪B)=3/4，求常数a.3、某地区成年男子的体重X服从正态分布2。N(,)且已知P(X>70)=0.5，P(X>60)=0.75.(单位:公斤)(1)求,为多少？(2)若在这个地区随机地选出5名男子，问其中至少有两人体重超过65的概率是多少？(3)若未知，随着它的增加，P(X)如何变化？2X2X4、XE(2),证：Ye与Y1e都服从U(0,