概率论 随机变量函数的分布.ppt

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1、1§3.3随机变量的函数及其分布单个随机变量函数的分布随机向量函数的分布21、设随机变量X的分布已知，随机变量Y=g(X)，如何由X的分布求出Y的分布？2、设二维随机变量X,Y的联合分布已知，Z=g(X,Y)如何由X，Y的联合分布求Z的分布？这类问题无论在实践中还是在理论上都是非常重要的.单个随机变量函数的分布：随机向量函数的分布：3（一）单个随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？5一、离散型随机变量函数的分布设随机变量X

2、的概率分布为：则随机变量函数的概率分布是：“X取某值与Y取其对应值是等价的”6[注]：（2）当的各个值不是互不相等时，应把相等的Y值分别合并，并相应地将其概率相加与之对应。的各个值互不相等时，上表即为Y的概率分布。（1）当7解：-6-4-20240.100.150.200.250.200.10（1）由已知有420-2-4-60.100.200.250.200.150.10例1：设随机变量X的概率分布为：-2-101230.100.200.250.200.150.10求：随机变量Y1=－2X以及Y2=X2的概率分布；XP(xi)把随机

3、变量的可能值由小到大排列的概率分布为8（2）显然有：4101490.100.200.250.200.150.10-2-101230.100.200.250.200.150.10XP(xi)整理得的概率分布01490.250.400.250.109例2设随机变量的概率分布为：求随机变量的概率分布。12n解：由于所以，随机变量函数只有三个取值-1，0，1。10整理得的概率分布-10111二、连续型随机变量函数的分布问题设X为连续型随机变量，其概率密度为若分布函数法：（1）按定义写出Y的分布函数。（2）将Y=g(X)代入上式中的Y，得：（

4、4）利用X的密度函数表达（5）上式两端对y求导即得Y的概率密度函数如何由X的密度函数确定Y的密度函数？（3）解不等式得12【例1】设连续随机变量X的概率密度为fX(x),求随机变量Y=aX+b的概率密度，其中b及a≠0都是常数.解：综上得Y的概率密度13下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用定理求出随机变量函数的概率密度.1415解：例设X密度为~求Y=2X+8的概率密度.于是由定理的第一种情况有：16故注意到0

5、求导数，即得Y的概率密度由此得20三、小结利用分布函数法1.离散型随机变量函数的分布2.连续型随机变量函数的分布利用定理的结论212223（二）随机向量函数的分布和的分布商的分布积的分布最大值与最小值的分布小结24当二维随机变量X,Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?25已知X和Y为离散型随机变量，[注1]求和范围是一切使的i及j的值。一、和的分布（求Z=X+Y）且X的可能值为可能值为Y的显然其和Z=X+Y也是离散的，且Z的任一个可能值为：并且有1、离散型随机变量和的分布(联合分布律已知）26则规定由于所以

6、这里求和范围是一切i的值，不是变量Y的可能值数如果对于i的某一个值[注2]27若取则有同理，则规定这里求和范围是一切j的值，不是变量X的可能值数如果对于j的某一个值[注3]28解：∵0，1，2，3，4。由于X与Y独立，所以例1设随机变量X与Y独立，并且：求它们的和Z=X+Y的分布。具有可能值：显然，29所以，　　　的概率分布如下：302、连续型随机变量和的分布设X和Y为连续型随机变量，X与Y的联合密度为f(x,y)求Z=X+Y的概率密度.解这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}Z=X+Y的分布函数是:它是直线x+y=z及其左下方

7、的半平面.31化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序32由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别地，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:卷积公式34解：由题意知353637例：设随机变量与独立，并且都在区间上服从均匀分布,求它们的和　　　　的分布。解：及的概率密度分别是和令38(1)当z<-2a时,(2)当时,39(3)当

8、　　　时,(4)当z>2a时,40辛普森分布所以Z的概率密度为:41二、商的分布4243（1）最大值的分布三、最大值与最小值的分布问题设随机变量X与Y独立，分布函数分别为44（2）最小值的分布45以上结论可推广到多个独立随机变量的情形