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1、第一章极限与连续一、教学目的1.复习函数的定义及有关性质.2.理解极限的定义，无穷大、无穷小的概念，闭区间上连续函数的性质；掌握极限的性质及四则运算法则，并会利用它们求极限.3.掌握无穷小的比较，用两个重要极限求极限.二、教学重点1.极限的概念及其运算，连续的概念及性质.2.无穷大与无穷小的概念及比较.3.两个重要的极限公式.三、教学难点1.极限的定义及连续的概念.2.两个重要的极限公式.四、课时安排约12学时1.1函数◆1.1.1函数概念◆1.1.2函数的几种特性◆1.1.3反函数与复合函数◆1.1.4基本初等函数◆1.1.5内容小结1.1.1函数概念定义1.1.1设
2、x，y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取某一数值时，变量y按照某一规则f总有一个确定的数值与之对应则称y为x的函数,简记为其中称为自变量,称为定义域.称为因变量，值的集合称为函数的值域.例1求函数的定义域.解 要使函数有意义,必须,且.解不等式得.所以函数的定义域为,或例2函数.其定义域为,值域为图形为一条平行于轴的直线.例3函数.称为绝对值函数.其定义域为,值域为.例4函数.称为符号函数.其定义域为,值域为.例5设为任意实数不超过的最大整数称为的整数部分,记作.函数称为取整函数.其定义域为,值域为.例如：,,.例6 产某种产品的固定成本为48000元，每生产一件
3、产品成本增加2400元，则该种产品的总成本y与产量x的函数关系可表为定义1.1.2在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例7函数,其定义域为.当时,;当时,.例如;;.1.1.2函数的几种特性 1.函数的有界性设函数的定义域为.如果存在正数使对任一,有,则称函数在上有界;如果这样的不存在,则称函数在上无界.注意1：函数的有界与否和讨论的区间密切相关.注意2：函数如果有界，其界不唯一.2.函数的单调性设函数的定义域为,区间.如果对于区间上任意两点 及,当时,恒有，则称函数在区间上是单调增加的.如果对于
4、区间I上任意两点及,当时,恒有,则称函数在区间上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.3.函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称(即若,则).如果对于任意的,有,则称为偶函数.如果对于任一,有,则称为奇函数.偶函数的图形关于轴对称,奇函数的图形关于原点对称.4.函数的周期性设函数的定义域为.如果存在一个正数,使得对于任意有,且，则称为周期函数.称为的周期.注意：一个函数如果有周期，其周期不唯一.我们把所有周期中的最小正值称为最小正周期，简称周期.周期函数的图形特点:在函数的定义域内,每个长度为的区间上,函数的图形有相同的形状.1.1.3反函数与复合函数定
5、义1.1.3设函数对每个,有唯一的,使得，于是有，为函数的反函数.由于人们习惯上自变量用表示,因变量用表示,于是,的反函数记成,.若是定义在上的单调函数,容易证明也是上的单调函数.定义1.1.4设函数的定义域为,函数在上有定义且,则由下式确定的函数称为由函数和函数构成的复合函数,它的定义域为,变量称为中间变量.1.1.4.基本初等函数常数函数：(为常数)；幂函数:是常数);指数函数:;对数函数:,特别当时,记为);三角函数:;反三角函数:.统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.1.1.5内容小结1.函数
6、的概念2.函数的性质3.反函数与分段函数4.基本初等函数1.2函数的极限◆1.2.1数列的极限◆1.2.2函数的极限◆1.2.3内容小结1.2.1数列的极限定义1.2.1对于数列{xn},如果当n无限增大时,数列的一般项xn无限地接近于某一确定的常数A,则称常数A是数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于A.记为.如果数列没有极限,则称数列是发散的.例1.观察下列数列并指出其极限..解：观察数列在时的变化趋势，有1.2.2函数的极限1.当x®x0时函数的极限定义1.2.2若x无限接近于x0时,函数f(x)的值无限接近于常数A,则称当x趋于x0时,f(x)以A为极限.记
7、作f(x)=A或f(x)®A(当x®).定义1.2.3若x®x0-时,f(x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数f(x)当x®x0时的左极限,记为.定义1.2.4若当x®x0+时,f(x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数f(x)当x®x0时的右极限,记为.左极限和右极限统称为单侧极限.例2 设函数，求和.解：＝ ＝定理1.1 当时，函数极限存在的充分必要条件是当时，函数的左、右极限都存在且相等，即例3讨论函数当x®0时的极限不存在.解：这是因为,,,.所以不存在.2.当x®¥时函数的极限定义1.2.5设f(x)当
8、x
9、大于某一正
