复变函数复习题

《复变函数复习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、一、复数基本概念及初等函数1、=2、复数的模为，主辐角为3、的指数表示式为4、设，则5、＝6、＝7、复数的值为8、求下列方程的根：（1）（2）二、解析函数与调和函数1、函数在何处可导？何处解析？2、设，证明它是解析函数，并求3、若为解析函数，求4、设证明u(x,y)是调和函数，并求解析函数5、设求解析函数，且使得6、若函数在区域D内解析，且在D内是一个常数，证明是常数。三、级数1、级数的收敛半径为2、若在z=2处条件收敛，则它的收敛半径为3、若在z＝－6处收敛，则它在z＝7处101、把在z=1处展开成泰勒级数

2、2、把在下列指定圆环域内展开成洛朗级数：（1）（2）3、把在下列指定圆环域内展开成洛朗级数：（1）（2）一、共形映射1、在z=1+i处的伸缩率为，转动角为2、在映射下，扇形区域的像区域为3、将映射成什么图形？4、求将上半平面映射成单位圆，且满足的分式线性映射。5、求且满足,且将单位圆映射成单位圆的分式线性映射。二、积分1、的奇点是2、z=0是的级极点。3、z=0是的级极点，且4、，则，5、求，其中C是连接z=0和z=1+i的直线段6、＝7、8、求以下积分：10（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（

3、9）9、如果在内解析，且，证明：，n取正整数参考答案：一、1、2、3、4、5、，7、二、1、在（0，0）处可导，处处不解析2、3、5、三、1、02、13、收敛4、5、（1）（2）6、（1）（2）四、1、2、4、5、五、1、2、三级3、一级，0（提示：求洛朗展开式）4、，5、6、7、（提示：求洛朗展开式）8、（1）0（2）0（3）（4）010一、填空题1、复数的模，辐角2、复数的指数表示式为3、4、函数关于的幂级数展开式为二、选择题1、下列积分值可能不为0的是（）（利用柯西-古萨基本定理判断）(A)(B)(C)

4、(D)2、为函数的（）（分别判断z=0是分子分母的几级零点）(A)零点(B)一级极点(C)二级极点(D)三级极点3、映射在点处的伸缩率是（）(A)(B)(C)(D)4、函数在点z可导是在点z解析的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)无关条件5.方程所表示的曲线是()(A)中心为,半径为的圆周(B)中心为,半径为的圆周(C)中心为,半径为的圆周(D)中心为,半径为的圆周三、函数在何处可导？何处解析？四、已知，求使得解析。五、将函数在下列区域中展成洛朗级数：（1）（2）六、计算下列

5、积分：（1）（2）七、求把上半平面映射为圆域且满足10的分式线性变换。答案一、填空题1、，2、3、4、（）二、选择题CCBBC三、解：因此，函数处处不可导，处处不解析。四、因此所以五、解：（1）因此（2）10因此六、（1）解：有2个奇点：原式=（2）解：奇点为为二级极点原式=七、解：设则因此所求的映射为10一、填空题（30分）1、设，试用指数形式表示=2、方程的全部为3、复数的值为4、映射的伸缩率为，旋转角为5、在有限复平面上，函数的孤立奇点为6、函数关于z的幂级数展开式为二、若函数在区域D内解析，且在D内为

6、常数，证明在D内必为常数.（10分）三、证明为整个复平面上的调和函数，求使得解析。（14分）四、将函数在下列区域中展成洛朗级数：（16分）（1）（2）五、（20分）计算下列积分：（1）（2）六、（10分）求把上半平面共形映射为圆域的分式线性映射，且满足。答案一、填空题1、，2、3、4、2，5、6、（）二、解：10三、解：，此时，u是调和函数。由于解析，所以有从而解得故所以四、解：（1）（2）10五、（1）解：有2个奇点：（一级极点）（二级极点）则原式=（2）解：原式==则从而六、解：首先作分式线性变换将圆域映

7、射为再作从上半平面到圆域的分式线性映射把上面两个映射复合，可得，即10由于因此所求的映射为10