三垂线定理及逆定理

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1、三垂线定理及逆定理(二)复习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？如果aα,a⊥AO，思考a与PO的位置关系如何？aAPoαPO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.PO平面PAOa⊥PO③三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PA⊥αaα①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。2、a与PO可以相交，也可以异面。3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。

2、对三垂线定理的说明：三垂线定理PaAoα例题分析：例1、判定下列命题是否正确(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b。()2°定理的关键:找一个平面（基准面）强调：1°四线是相对同一个平面而言(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。()××三垂线定理例2:如图,在△ABC中,∠ACB=90º,AB=8,∠BAC=60º,PC⊥平面ABC,PC=4,M为AB边上一个动点,求PM的最小值。APBCH由三垂线定理知PH⊥AB即点M在H时PM最小解：作CH⊥AB于H，连PH在△ABC

3、中，易求得CH=2则在RT△PCH中，PH=2即PM的最小值为2∵PC⊥平面ABC例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB∴BD1⊥平面AB1C证明：连结BD，连结A1B三垂线定理∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影∴BD1⊥AB1关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。利

4、用三垂线定理证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、三证。第一、找平面(基准面)及平面垂线第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。三垂线定理第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。反过来,如果a⊥PO,是否有a⊥AO?aAPoα三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线和斜线的射影垂直.例4四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证PC⊥AB解:过P作PH⊥面ABC，连AH延长交BC于E，连BH延长交AC于FPH⊥平面PBC,PA⊥BC,而PA在面ABC内的射影为AH,由三垂

5、线定理的逆定理知BC⊥AH三垂线定理则H为△ABC的垂心同理可证BF⊥ACPABCEFGH连CH延长交AB于G，于是CG⊥AB而CH是PC在面ABC的射影故PC⊥AB请你解决一个实际问题：道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有水平测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？（假设塔基B、道路处于同一水平面）BAC90°D45°三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。小结3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”1°定理中四条线均针对同一平面而言2°应用定理关键是找“基

6、准面”三垂线定理三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和斜线的射影垂直.