三垂线定理及逆定理（一）new

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1、三垂线定理及逆定理aAPoα[思考]如图，是平面α的一条斜线，如何在α内画一条直线与垂直？αaAAPOαaOA是PA在平面α内的射影OA是PA在平面α内的射影三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.aAPoα已知:PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α内的射影，且aα，a⊥AO求证：a⊥PO三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直.aAPoαaAPoα理解和深化⒈为什么称为“三垂线”定理？三种垂

2、直关系:①线面垂直②线射垂直③线斜垂直⒉这个定理的作用是什么？三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直的判定定理.3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论成立吗？APoαa直线a必须要在平面内,如果a不在平面内,定理就不一定成立.ADCBA1D1B1C1练习:(1)求证:(2)求证:解题反思ABCDO[思考1]:在四面体A-BCD中,A在平面BCD中的射影O在△BCD内,试根据下列条件,判断O为△BCD的什么心?(1)A到△BCD的三边距离相等.(2)AB=AC=AD.(3)AB,AC,AD两两垂直.ABCDO在四面

3、体A-BCD中[思考2]:ADCBA1D1B1C1MOP若O为中心,P为上一点,M为CD中点.求证：PO⊥AMN[思考3]:ADCBA1D1B1C1EFG解题反思：找出平面的垂线可使思路更加清晰.“作——证——算”三步.若E为的中点,求E到距离.设正方体的棱长为2,[思考4]:思考：若平面α内的直角△ABC的斜边AB=20,平面α外一点O到A、B、C三点距离都是25,求：点O到平面的距离．小结:到目前为止，证明空间两条直线垂直的方法有哪些？①利用定义，证明两条直线所成角是直角.②利用线面垂直的定义.③利用三垂线定理和逆定理.

4、三垂线定理和逆定理是判断线线垂直的重要方法之一，选择平面内直线、平面的斜线及与之对应的射影是问题的核心.先找出平面的垂线可使思路更加清晰.