三垂线定理和逆定理

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1、aAPoα三垂线定理及逆定理复习：什么叫平面的斜线、垂线、射影？如果aα,a⊥AO，思考a与PO的位置关系如何？aAPoαPO是平面α的斜线,O为斜足;PA是平面α的垂线,A为垂足;AO是PO在平面α内的射影.三垂线定理性质判定定理性质线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直PO平面PAOa⊥PO③三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PA⊥αaα①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAOPaAoαPAOaα三垂线定理包含几种垂直关系？②线射垂直PAOaα①线面垂直③线斜垂直PAOaα直线和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线

2、和平面的一条斜线垂直三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。线射垂直→线斜垂直直线a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。PAOaα例如：当b⊥时，b⊥OA如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但b不垂直于OP思考?1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。2、a与PO可以相交，也可以异面。3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。说明：例1直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：PO⊥

3、BD，PC⊥BD(3)已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD证明:∵ABCD为正方形O为BD的中点∴AO⊥BD同理，AC⊥BDAC是PC在ABCD上的射影∴PC⊥BDPO⊥BD∴AO是PO在平面ABCD上的射影∴PA⊥平面ABCD∵BD平面ABCD又PMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BC⊥AM

4、证明:PM⊥BC∴BC⊥AM∴PM是AM在平面PBC上的射影∴PA⊥平面PBC∵PB=PCM是BC的中点∵BC平面PBC又(3)在正方体AC1中，求证：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方体AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1证明：CBA1B1C1ADD1同理可证，A1C⊥B1D1由三垂线定理知A1C⊥BC1PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我们要学会从纷繁的已知条件中找出，或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平

5、面内的一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂，并不是三垂都作为已知条件解题回顾PAOaα关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、三证。即第一、找平面(基准面)及平面垂线第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与一条斜线。三垂线定理第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理：？在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条

6、斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求证：a⊥AO三垂线定理的逆定理例2如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO分析：要证∠BAO=∠CAO只须证OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???证明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在内的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB得OE⊥AB同

7、理可得OF⊥AC结论成立三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。小结三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证”1°定理中四条线均针对同一平面而言2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系